Matematik

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.1. Uyum, SDB3.2. Esneklik, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D3. Çalışkanlık, D12. Sabır

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin cebirsel veya grafik temsili verilen fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildiği; öğrendiği referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebildiği; referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların cebirsel temsili ile grafik temsili arasında geçiş yapabildiği; bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını bulabildiği; bu oranlardan yararlanarak bazı trigonometrik özdeşliklere ulaşabildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilere bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını ve dik üçgenden elde edilebilen trigonometrik özdeşlikleri belirleyebilmesine yönelik açık uçlu sorular sorulabilir. Uygun koşullarda tanımlı doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin öğrenme eksiklikleri açık uçlu sorular sorularak belirlenebilir. Öğrencilerin referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebilmesine ve referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların cebirsel ve grafik temsili arasında geçiş yapabilmesine dair becerilerinin, kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla hazır bulunuşluk testi yapılabilir.

Trigonometrinin kelime anlamından hareketle özel açılı bir dik üçgende kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından incelenmesi sağlanır. Bettani'nin trigonometriyle ilgili çalışmalarına yer verilerek oluşturduğu trigonometri tablosu incelenir. Benzer şekilde Ebülvefa Buzcani'nin trigonometrik oranları nasıl hesapladığına ve kullandığına yönelik açıklamalar yapılır.

Öğrencilerin dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını belirleyebilmelerinden hareketle dar açının değişiminin trigonometrik oranları nasıl etkilediği sorgulanır. Trigonometrinin astronomide yıldızların yükselişi ve yerleşimi, gezegenlerin hareketi, Güneş ve Ay tutulmaları gibi açısal ölçüm gerektiren problemlerin çözümünde çok eski dönemlerde kullanıldığına ilişkin örnekler üzerine sınıfça konuşulur. Farklı disiplinler için trigonometrinin önemi ve kullanım yerleri açıklanabilir. Örneğin Piri Reis’in çizdiği Dünya haritasında trigonometriyi nasıl kullandığı incelenerek harita mühendisliği ve coğrafya disiplinleri arasında ilişki kurulabilir. Buna ek olarak trigonometrik fonksiyonların öğrenciye karmaşık gelebilecek yapısı göz önüne alınarak materyal tasarımına yer verilir. Öğrencilerin kendilerini yetersiz veya başarısız hissetmemesi için konunun anlaşılmasında önemli bir yer tutan grafik temsilleri matematik yazılımlarıyla veya posterlerle desteklenir. Ayrıca trigonometrik oranları bulma ile ilgili öğrenme güçlüklerinin belirlenebilmesi için öğrencilerden yansıtıcı günlükler tutmaları istenebilir. Böylece öğrencilerin ilgi ve ihtiyaçları hızlı bir şekilde belirlenebilir ve olası sorunlara karşı gerekli önlemler alınır.

MAT.11.1.1
Dik üçgende belirlenebilen trigonometrik oranların birim çember yardımıyla gösterilebileceği fikri öğrenciye sunulur. Yönlü açı kavramı, birim çember üzerindeki noktalarla ilişkilendirilerek açıklanır. Açı ölçme birimleri, radyan ve derece olarak alınır ve bu birimler birbirine dönüştürülür. Bir tam çemberin merkez açısının ölçüsünün 360° veya 2π radyan olmasından hareketle esas ölçü kavramı hakkında bilgi verilir. Birim çemberin iç bölgesinde hipotenüsü aynı zamanda çemberin yarıçapı olan, dik köşesi x veya y ekseni üzerinde bulunan dik üçgen oluşturulur. Oluşturulan dik üçgende üçgenin çember ile kesiştiği P (x, y) noktası kullanılarak birim çember denklemine ulaşılır. Hipotenüsün 1 birim uzunluğunda olmasından hareketle birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsisinin açının kosinüs değerini, ordinatının ise sinüs değerini verdiği gösterilir. Ayrıca çizilen dik üçgenin trigonometrik oranlarının birim çember üzerinde seçilen noktaya bağlı olduğunu öğrencilerin fark etmesi sağlanır. Çember üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen pozitif yönlü açı değerinin trigonometrik oranları değiştirmesinden hareketle uygun x açıları kullanılarak y = sinx, y = cosx, y = tanx ve y = cotx ilişkileri kurulur. Bu ilişkiler genellenerek her bir gerçek sayıya birim çemberde bir yay uzunluğunun (Gerçek sayı doğrusu bir ip gibi düşünülerek “0 ” noktası birim çember üzerindeki (1, 0) noktası ile çakışacak şekilde pozitif sayılar saat yönünün tersinde, negatif sayılar saat yönünde birim çembere sarılır.) ve buna bağlı olarak bir açının karşılık getirilebileceği açıklanır. Buradan hareketle gerçek sayılarda trigonometrik fonksiyonların nasıl tanımlanabileceğine yönelik sınıf içi tartışma yapılır (SDB2.2). Bu ilişkiler uygun tanım ve değer kümesine sahip trigonometrik referans fonksiyonlar olarak ifade edilir.

Öğrencilerin birim çemberden yararlanarak f (x) = sinx v e f (x) = cosx fonksiyonlarının gerçek sayılarda tanımlı olduğunu ve bu fonksiyonların görüntü kümesinin [-1,1] olduğunu keşfetmelerine yönelik çalışmalar yapılır. f(x) = tanx ve f(x) = cotx fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümeleri, tanx = sinx/cosx, cotx = cosx/sinx eşitlikleri kullanılarak oluşturulan tablo veya birim çember yardımıyla belirlenir (OB4). Öğrencilerden elde ettikleri bilgiler yardımıyla, kâğıt ve kalemle, dijital araçlarla, matematik yazılımlarını kullanarak trigonometrik referans fonksiyonların grafiklerini çizmeleri beklenir (OB2, MAB5). Grafik temsilleri yorumlanarak bu fonksiyonların nitel özelliklerinin neler olabileceğine yönelik sınıf içi tartışmalar yapılır ve öğrencilere açık uçlu sorular sorulur. Bu tartışmalar yapılırken öğrencilerin birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1, SDB3.3). Öğrencilerin trigonometrik referans fonksiyonların matematiksel temsilleriyle nitel özellikleri arasındaki ilişkileri belirleyebilmesi beklenir. Bu noktada grafik temsilleri belirlenen referans fonksiyonların periyodik olduğu gösterilerek bu fonksiyonların periyotlarının belirlenmesi istenir. Öğrencilere trigonometrik fonksiyonların nitel özelliklerine yönelik performans görevi verilebilir.

Trigonometrik referans fonksiyonların grafiklerine uygulanan dönüşümler ile g(x) = k ∙ f (mx ± r) ± s (k, m, r, s ∈ ℝ, k ≠ 0, m ≠ 0) fonksiyonları elde edilir ve bu fonksiyonlar cebirsel temsillerle ifade edilir (E3.6, E3.7). Bu dönüşümler elde edilip yorumlanırken matematik yazılımlarından yararlanılır (MAB5, OB2). Cebirsel temsili verilen trigonometrik fonksiyonların katsayılarıyla grafik temsili arasındaki ilişkiler yorumlanır (MAB3). Trigonometrik referans fonksiyonların grafik temsillerine dönüşümler uygulanarak elde edilen fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlar geliştirilir. Varsayımlar geliştirilirken cebirsel ve grafiksel incelemelerin birlikte yürütülmesine önem verilir. Örneğin bir trigonometrik fonksiyonun artanlığına veya azalanlığına yönelik varsayımlar geliştirilirken o fonksiyonun grafik üzerinde gözlemlenen maksimum-minimum noktaları ve artan veya azalan olduğu aralıklar ile fonksiyonun cebirsel ifadesi arasında ilişki kurulur. Trigonometrik referans fonksiyonlarda fonksiyon değerlerinin sıralamasına yönelik varsayımlar, bu fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek elde edilir. Varsayımlara yönelik farklı örnekler incelenerek trigonometrik fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin genellemelere ulaşılır. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler, matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Genellemelerden elde edilen önermeler; fizikte Newton’ın (Nüvtın) hareket yasaları, sabit ivmeli hareket ve vektörler gibi trigonometrik fonksiyonların etkin bir şekilde kullanılabileceği konularda değerlendirilir. Örneğin uzunluğu verilen bir basit sarkacın hareketi sırasında yerden yüksekliği, sarkacın dikey düzlemle yaptığı açıya bağlı olarak bilimsel bir bakış açısıyla trigonometrik fonksiyonlarla modellenebilir (D3.3). Günün belli bir saatinde bir nesnenin gölge boyunun hesaplanmasında da benzer modellemeler yapılabilir. Böylece öğrenciler, trigonometrik fonksiyonlarla ilgili geliştirdikleri önermelerin gerçek yaşamdaki pek çok problemin çözümünde etkin bir şekilde kullanılabileceğini fark eder. Bu sayede öğrencilerin yeni ve belirsiz olan gerçek yaşam durumlarını anlamaları ve bu durumlarla başa çıkmak için olumlu ve çözüm odaklı bir düşünce biçimini benimsemeleri desteklenir (SDB3.1, D12.2). Öğrencilere trigonometrik fonksiyonların periyotlarının belirlenmesini gerektiren araştırma ödevi verilebilir.

Trigonometrik fonksiyonların matematiksel temsilleri, dönüşüm süreçleri ve nitel özellikleri hakkında elde edilen önermeler işe koşularak nasıl matematiksel doğrulama veya ispat yapılabileceği gösterilir. Örneğin bir trigonometrik fonksiyonun belli bir tanım aralığındaki sıfırlarının sayısı ile fonksiyonun periyodu arasındaki ilişkiyi ifade eden önermeler cebirsel olarak ispatlanır. Ayrıca ∀ x ∈ ℝ için sinx = cos ( 3π/2 + x) gibi önermelere ilişkin ilgili fonksiyonun grafik temsili verilir veya birim çember kullanılarak matematiksel doğrulama yapılır. Cebirsel ispat yapılırken mantık bağlaçları ve niceleyicilerin etkin bir şekilde kullanılabilmesi beklenir. Bu aşamada önermeler öncelikle, öğrenciler tarafından çözümlenir ve sonrasında bireysel olarak matematiksel doğrulama yapabilmeleri için önermelerden oluşan çalışma kâğıdı öğrencilere verilebilir. Çalışma kâğıdında cevaplanan sorulara ilişkin olarak öğrenciler kendilerini öz değerlendirme formu ile değerlendirebilir (SDB1.1, SDB1.2). Yapılan matematiksel doğrulama ve ispatların kullanışlılığı değerlendirilir.

MAT.11.1.2
f bir trigonometrik referans fonksiyon olmak üzere [ g(x) = k ∙ f (mx ± r) ± s (k, m, r, s ∈ ℝ, k ≠ 0, m ≠ 0)] fonksiyonları ile ifade edilebilen denklemlere ilişkin matematiksel bileşenler belirlenir. Bu bileşenlerle ilgili fonksiyonların periyotları [T, fonksiyonun periyodu olmak üzere f (x+T) = f (x)], tanım ve değer kümeleri arasındaki ilişkiler kullanılarak g(x) = 0 ve g(x) = h(x) gibi eşitliklerle trigonometrik denklemlerin tanımlanması sağlanır.

Trigonometrik referans fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonları içeren problem durumlarından elde edilen denklemlerin matematiksel temsilleri arasında (sözel, tablo, grafik, cebirsel) dönüşüm yapılır. Bu temsiller arasındaki geçişlerin gösterilebilmesi için elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, MAB5).

Problemlerden elde edilen denklemlerin çözümlerine ulaşabilmek için problem durumunda geçen fonksiyonun belirli noktalardaki değerlerini yorumlama, trigonometrik özdeşlik kullanma ve grafik temsilinden yararlanma gibi yöntemler kullanılır. Denklemde kullanılan trigonometrik fonksiyonun periyodu, denklem çözümlerinde yorumlanır. Burada kullanılan trigonometrik denklemlerde trigonometrik fonksiyonların birinci kuvvetleri ile sınırlı kalınmasına dikkat edilir. Denklem çözümlerinde elektronik tablo ve matematik yazılımlarından yararlanılılır (OB2, MAB5). Verilen farklı problem durumlarında uygun bir strateji seçilerek denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümeleri elde edilir. Elde edilen çözüm kümelerinin doğruluğuna ilişkin sonuçlar farklı çözüm stratejileriyle kontrol edilir. Örneğin 0 < x < 2π olmak üzere sin (x - π/6 ) = cos x denklemini sağlayan köklerin sayısı hem cebirsel olarak bulunur hem de denklemi oluşturan trigonometrik fonksiyonların grafik temsilleri referans fonksiyonlardan hareketle çizilerek kesişim noktaları yorumlanır (OB4). Matematik yazılımları kullanılarak sonuçların doğruluğu kontrol edilir (OB2). Çözümün doğruluğunu kontrol etmek için farklı çözüm yollarına duyulan ihtiyaç vurgulanır (SDB3.2).

Trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerin çözümleri ile ilgili kullanılan stratejiler gözden geçirilir. Bu problemlerin farklı yollardan çözülebilmesi için grup çalışması yapılabilir (SDB2.2). Yapılan grup çalışması, grup değerlendirme formu ile değerlendirilebilir. Bu problemlerde kullanılan gerçek yaşam durumlarının fizik, astronomi ve mühendislik gibi alanlarla ilgili olması beklenir. Örneğin fizikte eğik düzlem, eğik atılan cisim, basit sarkaç problemlerine yer verilebilir. Çözüme ulaştıran stratejilerin başka problem durumlarına uyarlanıp uyarlanamayacağına dair çıkarımlar yapılır (SDB3.1). Bu çıkarımlar, matematiksel bir modele dönüştürülür. Elde edilen matematiksel modeller sınırlılık ve verimlilik açısından değerlendirilir. Öğrencilere konuyla ilgili bir sorunun farklı yollardan çözülmesine yönelik problemlerden oluşan çalışma kâğıdı verilebilir. Böylece öğrenciler, farklı çözüm yolları bulmaya yönlendirilir (SDB3.2).

(*) Sekant ve kosekant fonksiyonlarının birim çember üzerindeki gösterimleri ve diğer trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ile ilgili araştırma ödevi verilebilir. Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerini belirleme ödevi verilebilir. Derece ve radyan ilişkisi üzerinden bir dairenin neden 360°ye bölündüğünün tarihî süreci ile Babil sayılarının araştırılması ve konuyla ilgili sunum hazırlanması istenir.

(*) Matematik yazılımları kullanılarak oluşturulmuş çalışmalar bağlamında sinüzoidal dalgalar ve ses sinyali üretimi incelenir. (*) Basit harmonik hareket, dönme dolabın hareketi gibi örnekler bağlamında trigonometrik fonksiyonların periyotlarına ilişkin uygulamalar içeren problemlere yer verilir. Örneğin eğik düzlemdeki bir hareketlinin bir noktadan bir noktaya varış süresi ve ivmesi trigonometrik fonksiyonlarla modellenebilir. (*) Trigonometrik fonksiyonların kullanıldığı ve öğrencinin fizik dersinden bildiği bileşke vektör, Newton’ın hareket yasaları ve eğik atılan cisim gibi bağlamları içeren karmaşık problemlerin çözümleri araştırılır.

Dik üçgende trigonometrik oranların belirlenmesine yönelik olarak çözülen örneklerin sayısı artırılarak trigonometrik fonksiyonlara geçiş yapılır. Gerçek yaşam durumlarında takvim, saat, hafta gibi örnekler üzerinden periyot kavramının anlamlandırılması sağlanır. Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin örnek veya problemlerde hesap makinelerinden veya çevrim içi araçlardan yararlanılır. Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili özelliklere ulaşılamadığı durumlarda sayısal örnekler kullanılarak öğrencilerden sınırlı genellemeler yapmaları istenir. Trigonometrik referans fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özellikleri incelenirken matematik yazılımlarından yararlanılır.

Trigonometrik fonksiyonların kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri, futbol topunun belli bir açıyla ileri hareketi veya dönme dolaptaki birinin yerden yüksekliği gibi öğrencinin ilgisini çeken örneklerle çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır.

Trigonometrik fonksiyonların temsil edilebileceği somut materyaller (analog saat gibi) kullanılır. Öğrencilere trigonometrik fonksiyonları cebirsel olarak ifade edebilmeye ve bu fonksiyonların grafik temsillerini yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek gerekli değerlendirmeler yapılır.

Geri bildirim ve değerlendirmelerde çoklu ortam araçları (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.1. Uyum, SDB3.2. Esneklik, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D13. Sağlıklı Yaşam, D18. Temizlik

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB8. Sürdürülebilirlik Okuryazarlığı

Öğrencilerin cebirsel veya grafik temsili verilen fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildiği, öğrendiği referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebildiği, referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların cebirsel temsili ile grafik temsili arasında geçiş yapabildiği, üslü ve köklü ifadelerle işlemler yapabildiği, üslü ve köklü ifadeleri birbirine dönüştürebildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin öğrenme eksiklikleri, açık uçlu sorular sorularak belirlenebilir. Öğrencilerin referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebilmeye, referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların cebirsel temsili ile grafik temsili arasında geçiş yapabilmeye dair becerilerinin, kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla hazır bulunuşluk testi yapılabilir. Öğrencilere üslü ve köklü ifadeleri birbirine dönüştürmeyi ve işlem yapabilmeyi içeren açık uçlu sorular sorulabilir.

Farklı disiplinlerde karşılaşılan ve üslü sayılar ile ifade edilebilen ilişkiler incelenerek öğrencilerin üstel fonksiyonlara olan ihtiyacı fark etmeleri sağlanır. Örneğin biyolojide uygun bir ortamda bulunan hücrelerin düzenli bir şekilde bölünerek çoğalması durumunda belli bir süre sonunda ortamda bulunan hücre sayısı belirlenerek tabloya işlenebilir. Elde edilen verilerden hareketle üstel fonksiyonların nasıl tanımlanabileceği ve nitel özelliklerinin neler olabileceği üzerine tartışılır. Üstel ve logaritmik fonksiyonların mühendislikteki kullanımında önemli bir yer teşkil eden e sayısı ile ilgili incelemeler yapılır. Bu noktada e sayısının mühendislik, biyoloji ve coğrafyada doğrusal olmayan büyüme veya değişim modellerinin temsilinde, finansal matematikte yatırımların zamana bağlı değişimlerinin modellenmesindeki kullanımı örnek durumlar üzerinden açıklanır. Ayrıca öğrencilerden üslü ve köklü ifadelerle ilgili yaşadıkları zorlukları ve motivasyon problemlerini belirlemek için yansıtıcı günlükler tutmaları istenebilir. Böylece öğrencilerin ilgi ve ihtiyaçları hızlı bir şekilde belirlenebilir ve olası sorunlara karşı gerekli önlemler alınır.

MAT.11.1.3
Üstel artış içeren ilişkiler, gerçek yaşam verileri kullanılarak (biyolojide hücrelerin bölünerek belirli bir örüntü oluşturacak biçimde sayılarının zamana bağlı katlanarak çoğalması gibi) incelenir. Elde edilen veriler tablo ve grafik ile gösterilir. Gerçek sayılarda f(x)=aˣ (a>0, a≠1) şeklinde bir fonksiyon tanımlanarak bu fonksiyonun grafik temsili elde edilir. Bu fonksiyonun nitel özellikleri, a nın aldığı değerlere göre (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, bire birliği, örtenliği) grafik temsiliyle ilişkilendirilerek belirlenir. Bu noktada özel olarak e sayısı ve cebirsel ifadesi f(x) = eˣ kuralıyla verilen fonksiyon üzerinde durulur. f üstel referans fonksiyonu olmak üzere f nin grafiğine yapılan dönüşümlerle [g(x)=k∙f(mx ± r)±s (k, m, r, s ∈ ℝ, k≠0, m≠0)] diğer üstel fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri elde edilir. Dönüşümler yapılırken r ve s değerlerinin her ikisinin veya birinin 0 olduğu durumlar aşamalı olarak ele alınır. Öğrencilerin grafik temsiller ile cebirsel temsillerdeki katsayıların ilişkilerini yorumlamaları sağlanır. Bu dönüşümler elde edilip yorumlanırken öğrencilerin dijital araçlarla çalışma becerilerini de destekleyecek şekilde matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2). Fonksiyonların grafik temsilleri üzerinde yapılan bu işlemler ile elde edilen fonksiyonların cebirsel temsillerindeki katsayılar arasındaki ilişkiler yorumlanır.

Cebirsel temsilleri verilen üstel referans fonksiyondan türetilmiş fonksiyonların grafik temsilini bulma çalışmaları yapılır. Cebirsel temsili verilen fonksiyonun grafik temsilinde işaretini, eksenleri kestiği noktaları bulmaları için öğrencilerden elde ettikleri sonuçları hem kâğıt ve kalemle hem de matematik yazılımları ile karşılaştırmaları istenir. Aynı zamanda fonksiyonun (varsa) sıfırı, işareti, artanlığı-azalanlığı cebirsel incelemeler ile eşleştirilir.

Öğrencilerin gerçek sayılarda f(x)=aˣ (a>0, a≠1) şeklinde tanımlı fonksiyonun grafik temsiline dönüşümler uygulanarak elde edilen fonksiyonların nitel özelliklerine dair varsayımlar (a değerinin fonksiyonun artanlığı-azalanlığı ile olan ilişkisi, üstel fonksiyonun hangi durumda sıfırının olabileceği gibi) öne sürmeleri beklenir. Farklı üstel fonksiyon örnekleri incelenerek bu örneklerin öğrencilerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığı kontrol edilir. Bu varsayımlardan üstel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin genellemeler elde edilir. Varsayımlar ile genellemeler karşılaştırılarak elde edilen önermeler, matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Bu önermelerin kullanışlılığı ekonomi (bileşik faiz/kâr payı hesabı, yatırımların üstel artışı ile gelirin değerlendirilmesi), coğrafya (belirli bir nüfus artış hızına göre belirli bir süre sonunda nüfusun belirlenmesi) gibi farklı disiplinlerde karşılaşılan problemler aracılığı ile değerlendirilir (OB3, SDB3.3).

MAT.11.1.4
Üstel referans fonksiyonun cebirsel ifadesinde bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirdiği durum, tablo temsili kullanılarak incelenir. Bu inceleme sonucunda öğrencilerden üstel referans fonksiyonun ters fonksiyonunun tablo ve grafik temsiline dair varsayımlarda bulunması beklenir. Üstel referans fonksiyondan türetilebilen fonksiyonların ters fonksiyonlarının grafiklerine dair genellemeler yapılır. Bu genellemeler; uygun koşullarda f(x)=aˣ (a>0, a≠1) şeklinde tanımlı fonksiyon ile şeklinde tanımlı fonksiyonun grafik temsilleri arasındaki ilişkiler, kâğıt ve kalem veya matematik yazılımları kullanılarak kontrol edilir (OB2, MAB5). Uygun koşullarda f(x)=aˣ (a>0, a≠1) şeklinde tanımlı fonksiyondan türetilebilen fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerinin birer fonksiyon olmasına ilişkin şartlar önerme olarak sunulur. Bu önermelerden hareketle fonksiyonların terslerinin cebirsel temsilleri elde edilir. Öğrencilerin üstel ve logaritmik fonksiyonların grafik temsilleri üzerinden bir fonksiyonun y = x doğrusuna göre simetriği ile fonksiyonun tersinin cebirsel temsili arasındaki ilişkiye dair çıkarımda bulunmaları sağlanır. Örneğin üstel referans fonksiyonun artanlığı-azalanlığı ile logaritmik referans fonksiyonun artanlığı-azalanlığı arasında çıkarımda bulunmaları beklenir. Burada özel olarak gerçek sayılarda tanımlı ve cebirsel temsili f(x) = eˣ olan fonksiyonun tersi olan fonksiyonun cebirsel temsilinin olduğu ve doğal logaritmik fonksiyon olarak adlandırıldığı üzerinde durulur. Öğrencilerin üstel ve logaritmik fonksiyonların ters fonksiyonlarını matematiksel araç ve teknolojiden yararlanarak bulmaları desteklenir (OB2, MAB5). Elde edilen logaritmik fonksiyonun kullanışlılığı gerçek yaşam durumları üzerinden incelenir. Örneğin depremin büyüklüğü, ses şiddeti, çözeltilerin pH değeri gibi niceliklerin ölçülmesini içeren uygun problemler bağlamında logaritmik fonksiyonun kullanımı değerlendirilir. Ayrıca arkeoloji ve kimya disiplinleri bağlamında fosillerin yaşının hesaplanmasında kullanılan karbon-14 yöntemi incelenebilir. Bu yöntemde logaritmik fonksiyon kullanılarak fosillerin yaşının bulunabileceği gösterilir (D3.5). Logaritmik fonksiyonun derste ele alınmayan farklı gerçek yaşam bağlamlarında kullanımına ilişkin araştırma ödevi verilebilir. Logaritmik fonksiyonun tarihî gelişimi bağlamında Gelenbevi İsmail Efendi ve John Napier’ın (Can Nepiyır) çalışmaları incelenir.

MAT.11.1.5
Logaritmik referans fonksiyonlara örnek teşkil eden gerçek yaşam durumları, grafik ve tablo yöntemiyle ele alınır. Tablo ve grafikler üzerinden verilen herhangi bir sayının logaritmasının rasyonelliği tartışılır. Grafik temsiliyle ilişkilendirilerek logaritmik referans fonksiyonun nitel özellikleri (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, sıfırı, artanlığı-azalanlığı, bire birliği) ve işlem özellikleri (dört işlem, taban değiştirme gibi) belirlenir (E3.6, E3.7). Ayrıca tabanın 10 olması durumunda logaritmik fonksiyonun özel olarak “logx” şeklinde gösterildiği ifade edilir. f logaritmik referans fonksiyonu olmak üzere f fonksiyonunun grafiğine uygulanan dönüşümlerle [g(x) = k ∙ f (mx ± r) ± s (k, m, r, s ∈ ℝ, k ≠ 0, m ≠ 0)] diğer logaritmik fonksiyonların grafikleri ve cebirsel temsilleri elde edilir. Bu dönüşümler elde edilip yorumlanırken matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, MAB5). Dönüşümler yapılırken r ve s değerlerinin her ikisinin veya birinin 0 olduğu durumlar aşamalı olarak ele alınır. Öğrencilerin grafik temsilleri ile cebirsel temsillerdeki katsayıların ilişkilerini yorumlamaları sağlanır (MAB3). Bu fonksiyonların grafik temsilinde işaretini, eksenleri kestiği noktaları bulmaları için öğrencilerden elde ettikleri sonuçları hem kâğıt ve kalemle hem de matematik yazılımları ile karşılaştırmaları istenir (OB2, OB4, MAB5). İncelemeler kapsamında fonksiyonun sıfırı, işareti, artanlığı-azalanlığı ile ilgili değerlendirmelere de yer verilir. Bu fonksiyonlar için uygun koşullarda f (x) = logₐx şeklinde tanımlı fonksiyonların referans alınabileceği belirtilir. Öğrencilere grafik temsiline yapılan dönüşümlerin, fonksiyonun cebirsel temsilinde oluşturduğu değişimin incelenmesine yönelik çalışma kâğıdı verilebilir.

Öğrencilerin logaritmik referans fonksiyonun grafik temsiline dönüşümler uygulanarak elde edilen fonksiyonların nitel özellikleri (tanım kümesi, değer kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, bire birliği) hakkında varsayımlar geliştirmeleri sağlanır. Varsayımlar geliştirilirken cebirsel ve grafiksel incelemelerin birlikte yürütülmesine önem verilir. Örneğin cebirsel temsili f (x) = log₂(3x−2) olan fonksiyonun tanım kümesine yönelik varsayım geliştirilebilir. Varsayımda bulunurken fonksiyonun matematik yazılımlarıyla elde edilen grafiği ile 3x-2>0 eşitsizliği arasında ilişkilendirme yapılır (OB2). Benzer şekilde öğrencilerin fonksiyonun cebirsel temsiliyle fonksiyonun sıfırı, artanlığı-azalanlığı arasındaki ilişkilere dair varsayımda bulunmaları sağlanır. Bu varsayımlardan hareketle fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin genellemeler elde etmeleri ve genellemelerle varsayımlarını karşılaştırarak matematiksel olarak doğrulayabilecekleri şekilde önermeler sunmaları için öğrenciler teşvik edilir. Örneğin varsayımlar ile genellemeler karşılaştırılarak cebirsel temsili uygun koşullarda f(x)=log₂(mx+n) (m, n ∈ ℝ, m≠0) şeklinde tanımlı fonksiyonun tanım kümesinin (-n/m, ∞) olduğuna dair bir önerme sunulur. Logaritmik fonksiyonların matematiksel temsilleri, dönüşüm süreçleri ve nitel özellikleri hakkında elde edilen önermelere ilişkin cebirsel ispat ve grafiksel doğrulama yapmaları hususunda öğrenciler desteklenir. Örneğin cebirsel temsili f(x)=log₂(mx+n) (m, n ∈ ℝ, m≠0) olan bir fonksiyonda tanım kümesinde yer alan her bir x elemanı için mx+ n>0 sağlanması gerektiği ve bu duruma uygun olarak bu fonksiyonun tersinin uygun koşullarda  şeklinde tanımlı fonksiyon olduğu ifade edilir. fonksiyonlarının matematik yazılımları ile grafikleri çizilerek y=x doğrusuna göre simetrik olma durumları kontrol edilir (OB2, MAB5). Ayrıca öğrencilerden işe koşulan doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını problemler üzerinden değerlendirmeleri beklenir.

Logaritmik referans fonksiyonda farklı x değerleri için elde edilen sonuçlardan yararlanılarak logaritmik fonksiyonun işlem özelliklerine dair v arsayımlar elde edilir. Örneğin f(x)=log₂(mx+n) (m, n ∈ ℝ, m≠0) fonksiyonunda x = 2, x = 4 ve x = 8 için elde edilen f(2)+f(4)=log₂2+log₂4=3 ve log₂8=3 sonuçlarından yola çıkılarak “m>0, n>0 olmak üzere log₂m+log₂n=log₂(m.n) elde edilir.” varsayımında bulunulur. Bu ve buna benzer varsayımlardan hareketle öğrencilerin logaritmik fonksiyonların işlem özelliklerine ilişkin genellemelere ulaşmaları sağlanır.

Genellemelerin varsayımları karşılayıp karşılamadığı, farklı örnekler üzerinden cebirsel olarak veya logaritmik fonksiyonların grafik temsilleri üzerinden (örneğin cebirsel temsilleri f(x)=log(x²) ve g(x)=2.logx (x>0) olan fonksiyonların grafiklerinin belirli aralıktaki eşitliği) kontrol edilir. Genellemelerden logaritmanın işlem özellikleri ile ilgili matematiksel olarak doğrulanabilecek önermeler elde edilir. Elde edilen önermelerin kullanışlılığı, fizikte ses düzeyinin belirlenmesi veya deprem büyüklüğünün ölçülmesi gibi farklı disiplinlerde karşılaşılan problem durumları üzerinden değerlendirilir. Önermelerini üstel fonksiyonların özelliklerinden yararlanarak ispatlayabilmeleri için öğrencilere gerekli destek verilir. Öğrencilerin bireysel olarak ispatlayabilecekleri logaritmanın bazı işlem özellikleriyle ilgili çalışma kâğıdı verilebilir. Bu çalışmalar sonunda öğrencilerin matematiksel çaba ve çalışkanlığın bir ürünü olan matematiksel ispatın matematiksel kavram ve ilişkilerin nedenselliğini anlamlandırmadaki rolünü fark etmeleri sağlanır (D3.3). Grafik temsilini kullanma, logaritmik fonksiyonların işlem özelliklerinden yararlanma gibi matematiksel doğrulama ve ispat yöntemleri kullanışlılık açısından değerlendirilir. Öğrencilere MAT.11.1.3 ve MAT.11.1.5 çıktılarına yönelik performans görevi verilebilir.

MAT.11.1.6
Üstel veya logaritmik fonksiyonların kullanımını gerektiren gerçek yaşam durumu problemleri biyoloji, ekonomi, fizik ve kimya gibi bağlamlarda incelenir. Bu problemlerde üstel veya logaritmik referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenler belirlenir. Bu bileşenlerin aralarındaki ilişkiler kullanılarak f(x)=0, f(x)=g(x), f(x)<g(x), f(x)≤g(x) denklem ve eşitsizliklerinin tanımlanması sağlanır. Referans fonksiyonları içeren problem durumlarından elde edilen denklem ve eşitsizliklerin matematiksel temsilleri arasında (sözel, tablo, grafik, cebirsel) dönüşüm yapılır. Öğrencilerin problemin gerektirdiği temsiller arası geçişleri yapabilmesi ve problem çözümlerine analitik ve sistematik bir şekilde yaklaşabilmesi için elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, E3.6, E3.7, MAB5). Verilen problem durumlarına ilişkin denklem ve eşitsizliklerin çözümlerine ulaşabilmeleri için öğrencilerin belirli değerlerle denklem veya eşitsizliği test etme, logaritmik ve üstel fonksiyonun nitel özelliklerini ve işlem özelliklerini işe koşma, elektronik tablolardan ve grafik temsilinden yararlanma gibi farklı yöntemleri kullanmaları teşvik edilir (OB2, MAB5). Verilen farklı problem durumlarında uygun bir strateji seçilerek denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümeleri elde edilir. Fonksiyon grafiklerinin, logaritmik ve üstel fonksiyonların işlem özelliklerinin kullanılması ve matematik yazılımlarından yararlanılması gibi farklı yöntemlerle çözümlerin doğruluğunun kontrol edilmesi sağlanır (OB2, MAB5). Gerçek yaşam durumlarında üstel ve logaritmik fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizliklerin çözümleri ile ilgili farklı stratejiler belirlenir. Bu stratejilerden uygun olanlar, gerçek yaşam durumu problemlerinde kullanılarak verimlilik ve kullanışlılık açısından gözden geçirilir. Örneğin Richter (Rihta) ölçeğine göre bir depremin büyüklüğünün hesaplanması gibi doğa olaylarının logaritmik fonksiyonlarla modellenmesini içeren problemlerde, bulunan çözümlerin kullanışlılığı ve afetlere karşı alınabilecek tedbirlerde (kentsel dönüşüm, deprem sonrası sürdürülebilir yaşam gibi) matematiğin rolü değerlendirilir (OB8, D5.3). Ayrıca kimyada bir çözeltinin pH değerine göre asidik veya bazik olma durumu incelenebilir. Özel olarak temizlik ürünlerinin pH değerlerinin on tabanındaki logaritmik fonksiyonla ilişkisi gösterilerek temizlik ürünlerinin niteliği konusunda öğrencilerin bilinçlenmesi sağlanır (D18.1). Salgın hastalıkların zaman içerisindeki yayılma miktarını belirlemede kullanılan SIR ve SEIR gibi epidemik modeller, üstel ve logaritmik fonksiyonlar bağlamında incelenir. Bu sayede öğrencilerin bulaşıcı hastalıklarla ilgili bilinçlenmesi desteklenir (D13.4). Logaritmik, üstel denklem ve eşitsizliklere ilişkin daha karmaşık problemlere çözümler geliştirilebilmesi için öğrencilerin gruplar hâlinde çalışması sağlanarak iş birliği ve iletişim becerilerinin gelişimi desteklenir (SDB2.1, SDB2.2). Çözüme ulaştıran stratejilerin başka problem durumlarına uyarlanıp uyarlanamayacağına dair çıkarımlar yapılır (SDB3.1). Öğrencilerden bu çıkarımları matematiksel bir modele dönüştürmeleri beklenir. Elde edilen matematiksel modeller, sınırlılık ve verimlilik açısından değerlendirilir. Öğrencilere konuyla ilgili bir problemin farklı yollardan çözülmesine yönelik çalışma kâğıdı verilebilir. Böylece öğrenciler bir problemin farklı, daha yalın ve kullanışlı çözüm yollarını araştırmaya teşvik edilir (SDB3.2). Öğrencilere üstel ve logaritmik referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlara yönelik denklem ve eşitsizliklerin kullanıldığı gerçek yaşam problemlerinden oluşan, öğrencilerin matematiksel modelleme yapabilme becerilerini geliştirmelerine katkı sağlayacak performans görevi verilebilir.

(*) e sayısının önemine yönelik vurgu, bileşik faiz/kâr payı ve şapka problemi gibi bağlamlarda ortaya çıkan uygun koşullarda şeklinde tanımlı fonksiyonla yapılır. Bu problem durumlarında fonksiyon elde edildikten sonra matematik yazılımları kullanılarak fonksiyonun sonsuzdaki davranışıyla e sayısı arasındaki ilişki incelenir.

(*) Öğrencilere logaritmanın tarihî gelişimi hakkında araştırma ödevi verilebilir. Araştırma ödevinde öğrencilerden John Napier’ın ölçüleri 0° ile 60° arasında olan açıların sinüslerini hesapladığı tablo ile logaritmik fonksiyon arasındaki ilişkiye dair çıkarımda bulunmaları istenir. Farklı disiplinlerde karşılaşılan üstel veya logaritmik fonksiyonlara yönelik problemlere (astronomide bir cismin yörüngesini tamamlama süresinin belirlenmesi gibi) yer verilir.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlara ilişkin örnek veya problemlerde hesap makinelerinden veya çevrim içi araçlardan yararlanılır. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile ilgili özelliklere ulaşılamadığı durumlarda öğrencilerden sayısal örnekler kullanarak sınırlı genellemeler yapmaları istenir. Üstel ve logaritmik referans fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özellikleri incelenirken görselleştirme için matematik yazılımlarından yararlanılır.

Öğrencilere gerçek yaşamla ilişkili verilen örnekler üzerinden üstel ve logaritmik fonksiyonları cebirsel olarak ifade edebilme ve grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için öğrencilere daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır. Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile ilgili olarak öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme)

D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin cebirsel ve grafik temsilleri üzerinden doğrusal, karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonları ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerini inceleyebildiği; cebirsel veya grafik temsili verilen fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildiği; öğrendiği referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebildiği; referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların cebirsel temsili ile grafik temsili arasında geçiş yapabildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin öğrenme eksiklikleri, açık uçlu sorular sorularak belirlenir. Referans fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebilmesine, referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların cebirsel temsili ile grafik temsili arasında geçiş yapabilmesine dair becerilerinin, kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla öğrencilere farklı soru türlerinden oluşan hazır bulunuşluk testi uygulanabilir.

Öğrencilerden önceden öğrendikleri tüm fonksiyonlar ve fonksiyonların nitel özellikleriyle ilgili bir kavram haritası oluşturmaları istenir. Bu kavram haritası üzerinden öğrencilerin kendi ön bilgilerini değerlenmeleri beklenir. Birden çok fonksiyonel işlemi sırasıyla yapmanın hangi durumlarda gerekli olduğuyla ilgili sınıf içi tartışma yapılır. Referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlarla referans fonksiyonlar arasındaki ilişki yeniden ele alınır. Örneğin f bir doğrusal referans fonksiyon olmak üzere f nin grafiğinin 2 birim aşağıya ötelenmesiyle elde edilen fonksiyonun cebirsel temsilinin h(x)=f(x)-2 olmasından yola çıkılarak f fonksiyonu ve gerçek sayılarda h(x)=x-2 şeklinde tanımlı h fonksiyonu arasındaki ilişki yorumlanır. Benzer şekilde gerçek sayılarda t(x)=(x−2)² şeklinde tanımlı fonksiyondan hareketle h(x)=x-2 şeklinde yeni bir h fonksiyonu tanımlanarak t(x)=(h(x))² şeklinde tanımlı fonksiyona dönüşüm üzerinde durulur. Bu bağlamda dönüşüm sonucu oluşan fonksiyonun birden fazla fonksiyonun sağladığı dönüşümü tek başına temsil ettiğinin fark edilmesi sağlanır.

MAT.11.1.7
Bir referans fonksiyon ile bu fonksiyondan türetilmiş bir fonksiyonun cebirsel ve grafik temsilleri incelenir. Referans fonksiyona hangi dönüşümler uygulandığı tespit edilerek iki fonksiyon arasında bileşke ilişkisi kurulur. Bu dönüşümler cebirsel bir işlem olarak yeniden ifade edilerek bileşke işlemi gösterimine geçilir. İki farklı fonksiyonun bileşke işlemini göstermek için f (g(x)) veya (fog) (x) gösterimleri kullanılır (MAB3). fog fonksiyonunun tanımlı olabilmesinin asgari koşullarının belirlenebilmesinde cebirsel ve grafik temsillerin veya tabloların sistematik ve analitik bir şekilde kullanılması sağlanır (E3.6, E3.7). f ve g fonksiyonlarından elde edilen fog ve gof fonksiyonlarının grafikleri, matematik yazılımları kullanılarak incelenir (OB4, MAB5). Bu sayede öğrencilerin dijital araçlarla iş görme becerilerinin geliştirilmesine de katkı sağlanır (OB2).

Bir ilişkinin fonksiyon olma şartları ve fonksiyonların nitel özellikleri ele alınarak elde edilen bileşke fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin varsayımlar geliştirilir. Bu varsayımlar, herhangi bir nitel özelliği verilen fakat cebirsel temsili verilmeyen fonksiyonları da içerir. Örneğin f veya g fonksiyonlarının bire bir, örten, artan-azalan, tek-çift olmasına ve maksimum-minimum noktaları ile sıfırlarına yönelik kabuller verilerek fog veya gof fonksiyonlarının nitel özellikleri hakkında varsayımlar geliştirilir. Öğrencilerden (fog)(x)=(gof)(x) eşitliğinin her f ve g fonksiyonu için sağlanıp sağlanamayacağına ve gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon ile tersi olan fonksiyonun bileşkesinin uygun koşullarda tanımlı doğrusal referans fonksiyonu verdiğine yönelik varsayıma ulaşmaları beklenir.

Keyfî fonksiyonlar üzerinden bileşke işleminin ve ters fonksiyonun özelliklerine değinilmez. Elde edilen varsayımlar bir araya getirilerek genellemeler oluşturulur. Bu bağlamda sadece gerçek sayılarda tanımlı ve değerli fonksiyonlar ele alınır ve bileşke işleminin getirdiği dönüşümler, cebirsel ve grafik temsillerinin eş zamanlı kullanılmasıyla yorumlanır. Genellemelerin varsayımları karşılayıp karşılamadığı kontrol edilerek bu genellemelerden bileşke fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin önermeler elde edilir. Bu önermeler, matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Bileşke fonksiyonlara ilişkin önermeler; ekonomi, fizik, kimya ve biyoloji gibi disiplinlerdeki kullanımları açısından değerlendirilir. Örneğin bir ürünün etiket fiyatına bağlı olarak sırasıyla indirimler uygulanır ve ürünün indirimler sonrası oluşan satış fiyatına vergi kesintileri uygulanır. Son durumda birim adetteki gelir, bileşke fonksiyonlarla modellenir (OB3). Ayrıca bir aracın zamana bağlı olarak harcadığı yakıt miktarını modellemek için zamana bağlı olarak aldığı yolu modelleyen fonksiyonla aracın harcadığı yakıt miktarını katettiği mesafeye göre modelleyen fonksiyon, bileşke fonksiyon olarak ifade edilebilir. Bu tür modellemeler, öğrencilerin bilinçli tüketim alışkanlıklarını destekler (OB3, D17.1). Kimyada şişirilen bir balonun içerisindeki gaz kütlesinin zamana bağlı değişimini veren bir fonksiyon ile gaz basıncının balonun içerisindeki gaz kütlesine bağlı değişimini veren fonksiyondan bileşke fonksiyon elde edilebilir. Biyolojide bir canlı türü popülasyonunun zamana bağlı değişimini veren fonksiyon ile bu canlı türü popülasyonuna bağlı olarak ortamda kalan yiyecek miktarını veren bir fonksiyon, bileşke fonksiyon bağlamında incelenebilir (D5.2). Öğrencilere gerçek yaşam durumlarında bileşke fonksiyonların kullanım alanlarını incelemeye yönelik araştırma ödevi verilerek görev bilincine sahip olması desteklenir (D16.3). Bileşke fonksiyonların nitel özelliklerinden elde edilen önermelerin değerlendirilebileceği çalışma kâğıdı verilebilir.

Öğrencilerden bileşke fonksiyonlara ilişkin elde ettiği önermeleri grafiksel olarak doğrulamaları veya cebirsel olarak ispatlamaları beklenir. Fonksiyonların nitel özelliklerinin tanımları bağlamında cebirsel ispatlarda mantık bağlaçları ve niceleyicilerin işe koşulması sağlanır. Örneğin f ve g fonksiyonları bire bir iken fog ve gof fonksiyonlarının bire birliğinin cebirsel olarak ispatlanmasında fonksiyonların bire birlik tanımının cebirsel ifadesi kullanılır. Bileşke işlemi için tanım ve değer kümelerinin belirlenmesinden ispatın adım adım gerçekleştirilmesine kadar olan süreçte mantık bağlaçları ve niceleyicilerin ispatın sistematikliğini ve matematiksel kesinliğini yansıtacak şekilde kullanılması beklenir. Ayrıca öğrencilerden “f fonksiyonu çift ise gof fonksiyonu çifttir.” gibi önermeleri grafiksel olarak doğrulamaları ve cebirsel olarak ispatlamaları beklenir (D3.3). Bu şekilde yapılan doğrulama ve ispatlar kullanışlılık açısından değerlendirilir. Bileşke fonksiyonlara ve bu fonksiyonların nitel özelliklerine yönelik performans görevi verilebilir.

MAT.11.1.8
Referans fonksiyonlar ve onlardan türetilebilen fonksiyonlarla yapılan toplama ve çıkarma işlemleri, hem cebirsel hem de grafik olarak incelenir. Çarpma ve bölme işlemleri ise sadece cebirsel olarak incelenir. Bu incelemelerden yola çıkılarak fonksiyonlarla dört işlemin tanımlı olabilmesinin asgari koşullarının keşfedilmesi sağlanır. Belirlenen tanım kümelerine göre fonksiyonlarla yapılan işlemler, uygun cebirsel veya grafik temsillerle ifade edilir. Örneğin gerçek sayılarda f(x)=x² ve g(x)=x şeklinde tanımlı fonksiyonlarla elde edilen f+g ve f-g fonksiyonlarının cebirsel ve grafik temsilleri oluşturulabilir. Ardından f, g, f+g, f-g fonksiyonlarında oluşan değişim; hem grafik üzerinde hem de cebirsel olarak değerlendirilir. Buradan yola çıkılarak iki fonksiyonla yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri sonucunda yeni fonksiyonların elde edilebilmesi ile bu iki fonksiyonun tanım kümelerinin ilişkisi; hem sözel hem de cebirsel olarak ifade edilir. Fonksiyonlarla yapılan çarpma ve bölme işlemlerinde toplama ve çıkarma işlemlerinden farklı olarak fonksiyonların grafik temsillerindeki yapısal değişiklikler matematik yazılımlarıyla gözlemlenir (OB2, MAB5). Öğrencilere fonksiyonlarda dört işlem özelliklerini yorumlamaya ilişkin açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir.

(*) Bileşke fonksiyonlarla yapılan işlemler, n adet fonksiyondan elde edilen bileşke fonksiyonlara ve bir fonksiyonun n adet bileşkesinden elde edilen fonksiyonlara genellenir. Periyodik fonksiyonların kullanıldığı bileşke fonksiyon örnekleri incelenir. Bileşke fonksiyonlardan oluşturulan denklem ve eşitsizliklerde fonksiyonlar tanım kümesinin elemanı kabul edilerek yeni denklem veya eşitsizlikler oluşturulur. Örneğin A x ∈ ℝ için f(x) < g(x) ise (fof)(x) < (fog)(x) gibi önermelerin hangi durumlarda doğru olabileceği tartışılır. Fonksiyonlarla toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bileşke gibi fonksiyonel işlemler algoritmik bir dille yapılandırılır.

(*) Algoritma konusunda çözümlenen sözde kod örneklerinden yola çıkılarak iç içe (nested) fonksiyonlar ile bileşke fonksiyonun ilişkisini ortaya koyan örnekler incelenir. Döngüler kullanılarak çözülebilen problemlerin öz yinelemeli fonksiyonlarla daha kolay çözülebileceğine yönelik örnekler verilir.

Bileşke fonksiyonlar ve fonksiyonlarda dört işlem özellikleri incelenirken genellikle sayısal verilerden yararlanılır. Örneğin verilen f, g fonksiyonlarında fog fonksiyonunu elde etmek yerine anlamlandırma sağlanana kadar fog fonksiyonunun sayısal değerleriyle işlem yapılır. Bileşke fonksiyonun nitel özellikleriyle ilgili önermeler, sayısal verilerden ve grafik temsillerden yararlanılarak doğrulanır. Ayrıca bu doğrulamaların veya ispatların belli aşamaları verilerek diğer aşamalarının öğrenciler tarafından tamamlanması beklenir.

Bileşke fonksiyonların kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri, öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır. Bileşke fonksiyonların temsil edilebileceği somut materyaller kullanılır. Öğrencilere bileşke fonksiyonları cebirsel olarak ifade edebilmeye ve grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır. Bileşke fonksiyonlar ve fonksiyonlarda dört işlemle ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır. Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur ve öğrencilerin bileşke fonksiyonlarla ilgili bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB1.3. Kendine Uyarlama ( Öz Yansıtma), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D14. Saygı, D16. Sorumluluk

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı, OB9. Sanat Okuryazarlığı

Öğrencilerin üçgenin temel elemanlarının özelliklerine ilişkin çıkarım yapabildikleri, üçgenin yardımcı elemanlarına dair özellikler ve üçgenin alanıyla ilgili çıkarımlarda bulunarak problem çözebildikleri kabul edilmektedir. Ayrıca öğrencilerin üçgende eşlik ve benzerliğe dair çıkarımlarda bulunarak eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarımlarını geometrik problemlerin çözümünde kullanabildikleri kabul edilmektedir. Bunun yanı sıra öğrencilerin önceki sınıflarda çokgen ve dörtgenlerin özellikleriyle ilgili edindiği bilgilerden hareketle paralelkenar, eşkenar dörtgen, yamuk, dikdörtgen ve karenin alan bağıntılarına ilişkin çıkarım yapabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere yöneltilen sorularla onların çokgen ve dörtgenlerle ilgili önceki sınıflarda edindikleri bilgilere dair değerlendirme yapılır. Benzer şekilde üçgenin temel ve yardımcı elemanları ile üçgende eşlik ve benzerliğe ilişkin sorularla da öğrencilerin bu konularla ilgili bilgileri değerlendirilir. Ayrıca öğrencilere simetri ile ilgili sorular sorularak simetri hakkındaki bilgilerin hatırlanması sağlanır. Öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplarla öğrenme eksiklikleri ve yanlış anlamaları belirlenir, varsa giderilmesi için uygun görevler ve yöntemler (soru cevap, karşıt örnek verme gibi) işe koşulur.

Öğrencilerden üçgenle ilgili olarak önceki sınıflarda öğrendikleri bilgilerin üzerine çokgenlerin ve dörtgenlerin özelliklerini inşa etmeleri beklenir. Öğrencilerin üçgenleri bir araya getirerek oluşabilecek şekillerle ilgili sınıf tartışmaları yapmaları sağlanır. Verilen şekillerin üçgenlere ayrılmaları sağlanarak da dörtgenlerin özelliklerinin yapılandırılmasına yönelik ön hazırlıklar yapılır. Köprü ya da farklı yapılarda üçgen modellerinin bir araya gelmesiyle oluşan şekil modeller de bu bağlamda incelenebilir. Üçgen ve dörtgenlerin kenar, açı sayıları ve özelliklerinden yola çıkılarak diğer çokgenlerin özelliklerinin de benzer şekilde yapılandırılması beklenir.

MAT.11.2.1
Öğrencilerin önceki sınıf düzeylerinden öğrendikleri dörtgenlerin temel özelliklerinden (iç açı, dış açı, kenar sayısı, köşegen sayısı) yola çıkılarak yapılan örnek çizimlerle bir dörtgenin başka bir temel özelliğinin dışbükeylik-içbükeylik olduğuna dair açıklamalar yapılır. Sadece dışbükey dörtgenlere ait özellikler incelenir.

Öğrencilerin farklı dörtgenlere ait örnekleri inceleyerek her bir dörtgenin açı, kenar ve köşegen özellikleri ile ilgili varsayımda bulunması sağlanır. Dörtgen örnekleri, çalışma kâğıdı veya matematik yazılımları kullanılarak sunulur (MAB5). Örneklerin matematik yazılımları kullanılarak sunulmasıyla öğrencilerin dijital araçlarla çalışabilme becerilerinin gelişimi de desteklenir (OB2). Öğrenciler, örnekler üzerinden elde ettikleri varsayımlarından genellemeler yapar. Bu süreçte öğrencilerin kendi fikirlerini ve arkadaşlarının görüşleriyle ilgili düşüncelerini paylaşmaları desteklenmelidir (SDB2.1). Daha sonra öğrencilerin ulaşılan genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını belirleyerek genellemelerini önermeler (“Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır.”, “İkizkenar yamuğun köşegenleri birbirini oranlı olarak böler.” gibi) olarak ifade etmesi istenir. Önermelerin değerlendirilmesi sürecinde öğrencilerin sunulan önermeleri dörtgenlere ilişkin başka özelliklerin belirlenmesinde kullanması beklenir.

Benzer bir çıkarım yapma süreci işletilerek, öğrencilerin üçgene ilişkin bilgilerini kullanarak ve farklı dörtgen örnekleri üzerinde çalışmalar yaparak dörtgenlerin simetri ( “Paralelkenarın simetri ekseni yoktur.”, “Karenin köşegenleri simetri eksenidir.” gibi) ve alan ( “Dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile köşegenleri arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.” gibi) özelliklerine ilişkin çıkarımlarda bulunması sağlanır. Bunun yanı sıra öğrencilerden dörtgenle ve üçgenle ilgili çıkarım ve değerlendirmelerini (üçgende benzerlik koşulları ve alan bağıntıları, Pisagor teoremi gibi) kullanarak dörtgenlere ilişkin başka çıkarımlara (“Paralelkenarın köşegenleri alanını dört eş parçaya ayırır.” gibi), özel dörtgenlerden biri olan deltoidin tanımına ve deltoidin açı, köşegen, simetri ve alan özelliklerine öğretmenin rehberliğinde ulaşmaları beklenir. Elde ettikleri önermeleri ispatlamak için dörtgenin içinde özelliğe uygun şekilde oluşturulan üçgenlerin açı, benzerlik veya alan özelliklerini işe koşmaları sağlanır. Yapılan ispatları farklı problem durumlarına uyarlayarak kullanışlılık açısından değerlendirmeleri sağlanır. Öğrencilere üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkılarak dörtgenlerin özelliklerine ilişkin bilgi ve çıkarımların değerlendirilmesi amacıyla tanılayıcı dallanmış ağaç, doğru-yanlış soruları ve açık uçlu sorulardan oluşan bir çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.11.2.2
Öğrenciler özel dörtgenlerin açı, kenar, köşegen ve simetri özelliklerine ilişkin bilgilerini kullanarak dörtgenler arasındaki ilişkilere dair fikirlerini paylaşır. Bunun için öğrencilerin gruplar hâlinde veya sınıfça tartışabilecekleri bir ortam oluşturulur. Öğrencilerden bu ilişkileri görsel olarak ortaya koyan akış şeması veya kavram haritası yapmaları istenebilir. Bu şema veya kavram haritaları, dijital ortamlarda da oluşturulabilir (OB2). Yapılan çalışmalarda dörtgenler arasındaki ilişkiler (“Eşkenar dörtgen, karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olan bir deltoiddir.” veya “Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan bir paralelkenardır.” gibi) vurgulanmalıdır. Öğrencilere yöneltilecek açık uçlu sorular ve öğrenci cevaplarına verilen dönütlerle öğrencilerin deltoid ile diğer özel dörtgenler arasındaki benzerlikler (kenar, köşe sayısı gibi) vefarklılıklarla (kenar uzunlukları, köşegenlerin kesişme durumları gibi) ilgili yeni fikirler geliştirmeleri sağlanır (E3.5). Öğrencilerin fikirleri doğrultusunda ve simetri ekseni, kenarların paralelliği, kenarların uzunluklarının birbirine eşit olması gibi özellikler bağlamında dörtgenleri farklı hiyerarşik yapılarda sınıflandırmaları beklenir. Bu sınıflandırmalarda belirlenen hiyerarşik yapıya uygun olmayan dörtgenlerin olup olmadığı da incelenir. Öğretmenin tüm çalışmalara ilişkin sürece soru, yönerge ve açıklamalarıyla rehberlik etmesi beklenir. Öğrencilerin özel dörtgenlerin arasındaki ilişkilere dayalı olarak gerçekleştirdiği yapılandırma süreci ve edindikleri bilgiler, kısa cevaplı sorular veya yapılandırılmış grid kullanılarak değerlendirilebilir.

MAT.11.2.3
Öğrencilere farklı kenar sayısına sahip içbükey ve dışbükey çokgen örneklerinin bulunduğu çalışma kâğıtları verilerek örnekleri karşılaştırmaları istenir. Öğrencilerin farklı olduğunu düşündükleri çokgenleri gruplandırmaları istenerek farklı gruplara koydukları çokgenlerin bu görünümlerinin sebepleri üzerine düşünmeleri sağlanır. Sınıf gruplara ayrılarak her bir gruba verilecek çalışma kâğıdıyla öğrencilerin birlikte çalışmalarına da olanak verilir (SDB2.1, SDB2.2). Öğrencilerden çokgenleri sınıflandırmalarını sağlayacak ölçütler belirlemeleri istenir ve öğrencilerin belirledikleri ölçütler sınıfça tartışılır. Öne çıkan fikirlerden içbükey ve dışbükey çokgenleri ayırmak için kullanılabilecek ölçütler (en az bir iç açının ölçüsünün 180°den büyük olması, çokgenlerin iç bölgesinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçalarının tüm noktalarının her durumda çokgenin iç bölgesinde kalıp kalmaması gibi) öğrencilerle beraber belirlenir ve gerekçelendirilir. Öğrencilerin grup çalışması içinde üzerine düşen görevleri yerine getirme çabası, sorumluluk bilincine sahip olmalarını ve öz güvenlerinin gelişimini de destekler (D16.3, E1.5). Öğrencilerden belirlenen ölçütlere göre çokgenler üzerinde ölçüm ve çizimler yaparak çokgenleri sınıflandırmaları ve oluşturdukları çokgen gruplarını düzenlemeleri istenir (MAB5). Oluşturulan gruplarda bulunan çokgenlerin içbükey ve dışbükey olarak adlandırıldığı ifade edilerek farklı çokgenlerin isimlendirilmesi (dışbükey beşgen, içbükey dörtgen gibi) sağlanır. Öğrencilere farklı kültürlere ve Türk-İslam kültürüne ait dışbükey ve içbükey çokgen çizimlerinin bulunduğu motif, süsleme ve dokuma örnekleri sunulur. Sunulan örneklerdeki geometrik yapılar incelenerek öğrencilerin kültür ve sanat okuryazarlığı desteklenir (OB5, OB9). Ayrıca sunulan bu örnekler aracılığıyla öğrencilerin kültürel mirasa değer vermeye ilişkin duyarlılıklarının artırılması sağlanır.

MAT.11.2.4
Öğrencilerde konuya dair merak uyandırmak için Farabi'nin dışbükey dörtgen, beşgen ve çokgenleri parçalayarak incelemesiyle ilişkili geometri çalışmalarından bahsedilir (E1.1). Farklı kenar sayısına sahip dışbükey çokgen örneklerini kullanarak öğrencilerin çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilebileceğine ve bir köşeden çizilen köşegenlerle çokgenin kaç üçgene ayrılabileceğine dair varsayımlarda bulunmaları sağlanır. Öğrencilerden örnekler üzerinde yapacakları çizim ve incelemelerle varsayımlarını genellemelere dönüştürmeleri beklenir. Öğrencilerin bir tablo oluşturmaları ve sırasıyla üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve yedigen için tespit ettikleri köşegen ve üçgen sayılarını belirlemeleri sağlanır (MAB3). Kenar sayısı verilen bir çokgenin bir köşesinden kaç tane köşegen çizilebileceği ve bu köşegenlerle çokgenin içinde kaç tane üçgen oluşabileceğine ilişkin genellemelere sınıf içi tartışma yoluyla ulaşmaları desteklenir. Öğrencilerden ulaşılan genellemeler ile varsayımlarını karşılaştırması ve ulaşılan genellemeleri önermeler (“Bir çokgenin iç bölgesinde belirli bir köşeden en fazla çizilen köşegen sayısının bir fazlası kadar üçgen oluşur.” gibi) olarak ifade etmesi istenir. Öncelikle çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını kenar sayısına bağlı olarak ifade etmeleri ve çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamının kenar sayısından bağımsız olarak 360° olduğu çıkarımını yapmaları beklenir. Daha sonra öğrencilere düzgün çokgen tanımı hatırlatılır ve Ebu Sehl Kuhi'nin bazı düzgün çokgenlerin çizimine ilişkin yaptığı çalışmalarla ilgili bilgi verilir. Bunun yanı sıra Türk-İslam mimarisine ait, yapımında düzgün çokgenlerin (düzgün sekizgen ve düzgün altıgenin kullanımı gibi) kullanıldığı eserler incelenerek bu eserlerin yapımında kullanılan düzgün çokgenlerin nasıl ve neden kullanıldıklarına dair araştırma ödevi verilebilir. Öğrencilerin Türk-İslam kültürüne ilişkin yapacakları bu çalışmalarla kültürü oluşturan unsurları ve kendi kültürlerini fark etmeleri sağlanır. Bu sayede kültürel mirasa sahip çıkma duyarlılıkları da desteklenir (OB5). Bu aşamada öğrencilerin çokgenlerin açı özelliklerine ilişkin çıkarımlarından hareketle düzgün çokgen tanımını da kullanarakbir düzgün çokgenin bir iç ve bir dış açısının ölçüsünü veren bağıntıları kenar sayısına bağlı olarak ifade etmeleri sağlanır. Böylece önceki bilgi ve çıkarımlarını kullanarak, yorumlayarak yeni sonuç ve çıkarımlara ulaşan öğrencilerin bilgi okuryazarlığı becerileri desteklenmiş olur (OB1). Çokgenlere ilişkin yapılan çıkarımların değerlendirilmesi bağlamında ayrıca düzgün beşgen, düzgün altıgen ve düzgün sekizgenin açı özellikleri kullanılarak köşegen ve simetri özellikleri incelenir. Bu çokgenlere dair çıkarımlar (“Düzgün beşgenin tüm köşegen uzunlukları eşittir.” gibi) yapılmasını sağlayacak süreç işe koşulur. Öğrencilerin düzgün beşgen, düzgün altıgen ve düzgün sekizgen örnekleri üzerinden kenar sayısı tek veya çift sayı olan düzgün çokgenlerin köşegen ve simetri (“Çift kenar sayısına sahip düzgün çokgenlerde en uzun köşegenler simetri eksenidir.”, “Düzgün çokgenlerde bir köşeden çizilen iç açıortay simetri eksenidir ve farklı köşelerden çizilen iç açıortaylar tek noktada kesişir.” gibi) özelliklerine ilişkin genellemeler yaparak çıkarımlarda bulunması sağlanır. Düzgün çokgenlerin köşegen ve simetri özelliklerine ilişkin yapılan çıkarımlara bağlı olarak düzgün altıgen, düzgün sekizgen ve düzgün onikigenin alanlarının nasıl hesaplanabileceğine ve alan özelliklerine ilişkin çıkarımda bulunmalarına yönelik çalışmalar yapılır. Bu süreç sonunda ortaya konan önermeler, farklı problem durumlarına uyarlanarak kullanışlılık açısından değerlendirilir. Öğrencilere çokgenler ve çokgenlerin özelliklerine ilişkin çıkarımlarının değerlendirilmesi için farklı soru türlerinin bulunduğu çalışma kâğıtları verilebilir.

MAT.11.2.5
Öğrencilere çokgenler ve dörtgenlerin özelliklerine ilişkin çıkarımlarını ve özel dörtgenler arasındaki ilişkilere dair edindikleri bilgi ve becerileri kullanabilecekleri farklı problem durumları sunularak bu problemleri incelemeleri istenir. Öğrencilere sunulacak bu problemlerde çokgen ve dörtgenlerin günlük hayatta ve başka disiplinlerde kullanımına ilişkin örneklere özellikle yer verilir. Tekstil ve dokumacılık sektörü, süsleme ve görsel sanatlar, çokgen ve dörtgen kullanılarak oluşturulan eserler, mimari yapılar, yapıların yüzey kaplamaları ve doğada karşılaşılan örneklerle ilgili problem durumlarında çokgen ve dörtgenler kullanılır (OB4). Problemlerde kullanılacak örnekler seçilirken Türk kültürüne ait yöresel halı dokuma örnekleriyle çokgen ve dörtgenlerin süsleme ve resim sanatındaki kullanımları ele alınarak öğrencilerin kültürü oluşturan unsurlarla kendi kültürünün özelliklerini fark etmeleri sağlanır (OB5). Türk kültürüne ilişkin örnekler, öğrencilerin kültürel mirasa ilişkin duyarlılıklarını pekiştirir (D14.3). Öğrencilerin sunulan problem durumlarına ilişkin olarak öncelikle problemin parçaları (sayısal veya nicel, görsel veya şekil gibi) ve bu parçalar arasındaki ilişkileri belirlemeleri sağlanır. Öğrencilerden özellikle gerçek yaşam durumlarını içeren problemleri analitik bir yaklaşımla matematiksel temsillerle ifade edecek şekilde dönüştürmesi ve problemin bileşenlerini belirlemesi beklenir (E3.6, MAB3). Öğrencilerin problemin çözümü için geliştirdikleri stratejileri uygulayarak problemi çözmeleri ve çözümlerini kontrol etmeleri sağlanmalıdır (SDB3.3). Bu tür problemlerin çözümlerinde çokgen olabilme koşullarının verilen noktaların içbükey, dışbükey çokgen olacak şekilde bir araya getirilmesini; pergel, cetvel, ölçüsüz cetvel veya matematik yazılımlarının kullanımını; farklı çokgen ve dörtgen çeşitlerinin özelliklerinin kullanımını içeren stratejiler kullanılır. Daha sonra öğrencilerin farklı çözüm yollarını ve stratejileri eleştirel bir yaklaşımla gözden geçirmeleri teşvik edilir (E3.10). Bunun için öğrencilerin çözümleri tartışma ortamında ele almaları sağlanır. Tartışılan çözüm yolları üzerinden problemin çözümünü sağlayan yolların benzer tüm durumlara genellenip genellenemeyeceğine yönelik çıkarımlar yapılır. Çözüm stratejilerinden hangilerinin hangi tür problemlerde kullanılabileceğine ilişkin (pergel, cetvel, ölçüsüz cetvel veya matematik yazılımlarının, çokgenlerin özelliklerinin kullanımı gibi) çıkarımların matematiksel örneklerle desteklenerek değerlendirilmesi yapılır. Öğrencilerden kendi uyguladıkları stratejilerin doğruluğu ya da yanlışlığı üzerinden ayrıca bir değerlendirme yaparak kendilerinin belirlediği stratejileri farklı problem durumlarına uyarlamaları beklenir. Bu değerlendirmeler sonucunda öğrencilerin elde ettikleri genellemeleri farklı problem durumlarına yansıtmaları sağlanır (SDB1.3). Öğrencilere farklı disiplinlerde çokgen ve dörtgenlerin kullanımına dayalı problemler içeren çalışma kâğıdı verilerek problemleri çözmeleri istenebilir. Öğrencilerin çözüm sürecinde birbirleri ile etkileşim hâlinde çalışmaları desteklenir.

Öğrencilere MAT.11.2.3, MAT.11.2.4 ve MAT.11.2.5 öğrenme çıktılarına yönelik olarak çokgenler ve dörtgenlere dair yaptıkları sınıflandırma, yapılandırma ve çıkarımlara ilişkin bilgi ve becerilerini konuyla ilgili farklı problem durumlarının oluşturulması ve problemlerin çözümü için kullanmalarını sağlayacak bir performans görevi verilebilir.

Öğrencilerden origamiyle düzgün çokgenler oluşturmaları istenir. Bu oluşumlarda katlamaların nasıl yapıldığı, neden o şekilde katlandığı gibi sorulara cevap vermeleri beklenir. Ayrıca düzgün çokgenlerin ötelenmesi, yansıması ve dönmesinden yararlanarak çeşitli desenler elde etmeleri istenir. Bu desenler hazır kâğıtlarla yapılabileceği gibi dijital araçlarla da yapılabilir.

Öğrencilerden doğadaki düzgün çokgen örnekleri (bal peteklerinin altıgen olması gibi) hakkında araştırma yaparak çalışmalarını özetlemek üzere afiş hazırlamaları ve bu afişleri sunmaları beklenir. Olanaklar dâhilinde öğrencilerin afişi dijital ortamda geliştirmeleri ve sınıfta paylaşmaları istenir.

Öğrencilere matematik yazılımları kullanılarak çokgenin kenar sayısının artmasıyla oluşan köşegen sayısındaki ve çokgenin içinde oluşan üçgen sayısındaki değişimleri gösteren bir çalışma verilir. Öğrencilerin çalışmalarını sınıf arkadaşlarına sunmaları sağlanmalıdır.

(*) Çokgenin farklı köşelerden çizilen köşegenlerle veya farklı yollarla üçgenlere parçalandığı durumlarda iç açıların ölçüleri toplamını veren bağıntının nasıl elde edilebileceğine dair bir çalışma yapmaları istenir.

(*) Altın oranın ve yıldızın düzgün beşgenle ilişkisini, Mimar Sinan’ın eserlerinde beşgen kullanılarak oluşturulmuş geometrik desenleri ve Leonardo da Vinci’nin (Leyonardo da Vinçi) altın oranla ilgili yaptığı çalışmaları araştırmaları istenir.

(*) Matematik yazılımları veya pergel, ölçüsüz cetvel kullanılarak inşa edilebilen düzgün çokgenler araştırma ödevi olarak verilir. Düzgün yıldız çokgenlerle ilgili araştırma yapılması istenir. Öğrencilerin yaptığı araştırmaları afiş, poster ve çevrim içi uygulamalar kullanarak sınıf arkadaşlarına sunmaları sağlanmalıdır.

Öğrencilerin konuya ilişkin içerik bilgisine ulaşmalarında ve hedeflenen becerileri kazanmalarında çoklu ortam araçlarının (cetvel, gönye, pergel gibi matematiksel araç gereç veya matematik yazılımları) kullanımına dikkat edilir. Özellikle dijital etkileşimli içeriklerle uygulama yapma imkânı sağlanır. Öğrencilere temel bilgileri edinebilecekleri farklı görseller içeren çokgen örnekleri sunulur, bunlarla ilgili olarak akranlarıyla çıkarım yapma sürecine girmeleri beklenir.

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB2.1. İletişim, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D5. Duyarlılık, D6. Dürüstlük, D8. Mahremiyet, D13. Sağlıklı Yaşam, D14. Saygı, D17. Tasarruf

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık

Öğrencilerin tek nicel değişkenli veri dağılımlarına yönelik betimleme ve karşılaştırma gerektiren araştırma sorusu oluşturabildikleri, araştırma sorusu bağlamında toplanan/ elde edilen nicel verileri analiz etmek için görselleştirme ve/veya özetleme araçları kullanabildikleri, nicel verileri analiz ederek yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin iki kategorik değişkenin ilişkililiğine dair araştırma sorusu oluşturabildikleri ve oluşturdukları sorular için veri toplayabildikleri/elde edebildikleri kabul edilmektedir. Elde ettikleri/topladıkları iki kategorik değişkenli verilerden hareketle verileri görselleştirebildikleri ve/veya özetleyebildikleri (toplam satır veya sütunlardaki göreli sıklıkları gösteren iki yönlü tablo, koşullu göreli sıklıkları gösteren sütun grafikleri, koşullu göreli sıklıklar gibi), değişebilirlik ve dağılım kavramlarını bildikleri ve verileri yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bütününe ilişkin ön bilgilerini değerlendirmek amacıyla beyin fırtınası tekniği kullanılabilir. Öğrencilerin önceki sınıflardaki istatistiksel araştırma sürecine ilişkin deneyimlerini paylaşmaları istenerek istatistiksel araştırma sürecine yönelik ilgi ve merakları gözlemlenir. Bununla birlikte öğrencilere nicel verileri içeren bir bağlama yönelik açık uçlu sorular sorulabilir. Sorular öğrencilerin histogram, nokta grafiği, kutu grafiği gibi görselleştirme araçlarına ve aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık, standart sapma gibi özetleme araçlarına ilişkin bilgilerini inceleyecek şekilde tasarlanmalıdır. Bu süreç sonunda öğrencilere geri bildirim verilir.

Öğrencilerden iki nicel değişken arasındaki ilişkililiğe odaklanan araştırma sorularını incelemeleri ve bu sorulara nasıl cevap verilebileceği üzerine düşünmeleri istenir. Araştırma sorularına cevap vermek için ortaokul ve 9. sınıfta öğrenilen çizgi grafiği, nokta grafiği, kök-yaprak gösterimi, histogram, kutu grafiği gibi araçların kullanılıp kullanılamayacağı tartışılır. Bu görselleştirme araçlarının her zaman yeterli olup olamayacağı ve yeni görselleştirme araçlarına ihtiyaç duyulacağı öğrencilere sorgulatılarak fark ettirilir.

MAT.11.3.1
İstatistiksel araştırma süreci; bağlamı belirleme, bağlama yönelik soru sorma, veri toplama planı yapma, verileri analize hazır hâle getirme, verileri analiz etme ve sonuçları yorumlama aşamalarının tamamını içerecek şekilde ele alınır. Bu sınıf seviyesinde öğrenciler, iki nicel değişken içeren dağılımlarla istatistiksel araştırma sürecini yürütür.

İki nicel değişkenli verilerdeki ilişkililiğe yönelik araştırma sorularına kaynaklık eden bağlamlar, öğrencilerin merak ettiği gerçek yaşam durumlarını içermelidir (E1.1). Öğrencilerin istatistiksel araştırma gerektirebilecek gerçek yaşam durumlarını belirleyebilmeleri için sağlık, eğitim, çevre, doğa veya iklim gibi alanlardan gerçek yaşam durumlarına ilişkin bilgilere ihtiyaçları olduğunu gözlemlemeleri sağlanır (OB1). Toplumsal konulara yer verilmesi öğrencilerin etrafında olup bitenleri merak etmesini ve merak ettiği konular doğrultusunda sorular sormasını destekleyerek kendisine, topluma, çevreye ve canlılara karşı hassasiyetle yaklaşmasını destekler (SDB1.1, D5.2, E1.1, E3.8). Öğrenciler bireysel çalışma veya grup çalışması ile belirledikleri gerçek yaşam durumlarını örümcek ağı kavram haritası gibi tekniklerle gösterir veya dijital ortamlarda zihin haritası gibi araçlarla oluşturarak paylaşır (OB2). Belirlenen gerçek yaşam durumları, veri toplamayı gerektirip gerektirmeme ölçütüne göre sınıf içi tartışmayla incelenir. Bu süreçte öğrencilerin düşüncelerini ifade etmelerinin yanı sıra diğer arkadaşlarının düşüncelerini nazik bir şekilde dinleyerek onlarla empati kurabilmesin yönelik yönlendirmeler yapılır (SDB2.1, D14.1).

Öğrencilerin belirlenen bağlamlardan yola çıkarak merak ettikleri soruları ifade edebilmelerine izin verilir (E3.8). Bu aşamada örnek bir bağlamdan hareketle bir araştırma sorusu oluşturulur. Örneğin bireylerin boy uzunluklarının inceleneceği bir problemle hangi değişkenlerin boy uzunluğu ile ilişkili olabileceğine yönelik sınıf içi tartışma başlatılabilir. Uygun değişkenin belirlenmesi sürecinde öğrencilerin birbirlerinin fikirlerini dinlemeleri ve bu fikirlerden hareketle yorum yapabilmeleri sınıf içi tartışma ile desteklenir. Tartışma sırasında öğrencilerden farklı bakış açılarını dikkate almaları ve birbirleriyle etkili iletişim kurmaları beklenir (SDB2.1, D14.1). Bu tartışmanın sonunda öğrencilerle boy uzunluğunun zıplama yüksekliği, günlük süt tüketim miktarı (l), uyku süresi gibi değişkenlerle ilişkili olabileceğinden hareketle araştırma soruları oluşturulabilir. Öğrencilerin farklı bağlamlardan hareketle hazırladıkları araştırma sorularına ilişkin fikirlerini gerekçeleriyle tartışmaları ve bu tartışmalar sonucunda iki nicel değişkenli veri dağılımlarının ilişkililiğine odaklanan istatistiksel araştırma sorularına ulaşmaları sağlanır (SDB2.1).

Ayrıca öğrencilerden farklı disiplinlerle ilişkili araştırma soruları hazırlamaları istenir. Örneğin öğrenciler; ekonomi dersi konularından yola çıkarak kişilerin gelir miktarları ile yaptıkları tasarruf miktarı arasında bir ilişkililik olup olmadığını, astronomi ve uzay bilimleri dersi konularından yola çıkarak gezegenlerin Güneş’e olan uzaklıkları ile dönme hızları arasındaki ilişkililiği, biyoloji dersi konularından yola çıkarak omurgalı hayvanların kilosu ile yaşam süreleri arasındaki ilişkililiği inceleyebilir (OB3). Bunun yanı sıra bilinçli tüketici olmaya dikkat çekmek amacıyla öğrencilerin “Ev yaşam alanı (m²) ile tüketilen elektrik miktarı (kWh) arasında bir ilişkililik var mıdır?” şeklinde bir soru üzerinde tartışmaları sağlanır (OB3, D17.1). Bu süreçte öğrenciler tarafından hazırlanacak bazı araştırma soruları, sağlıklı yaşama ilişkin duyarlılığı artırma amacı gözetebilir. Bireylerin spor yapma süresi ile kalp atış hızı arasındaki ilişki üzerine sınıf içi tartışma yapılarak öğrencilerin düşüncelerinin ortaya çıkarılması buna örnek olarak gösterilebilir (SDB2.1, D13.2).

Hazırlanan araştırma sorularına cevap bulabilmek amacıyla öğrencilerle veri toplama sürecine geçilir. Bu süreçte verileri öğrencilerin kendilerinin toplayabileceği ya da hazır veri kaynaklarından elde edebileceği ifade edilmelidir. Öğrencilerin hazır veriye ulaşmaları sürecinde dijital kaynakları nasıl doğru kullanmaları gerektiğine yönelik tartışmalar yapmaları teşvik edilmelidir (OB2). Öğrencilerden iki nicel değişkenli veri setlerinin nasıl toplanacağına yönelik veri toplama planı oluşturmaları istenir. Bu plan doğrultusunda veri toplama araçlarını (anket, görüşme, gözlem, ölçüm gibi) belirleyip oluşturmaları, verileri toplamaları ve analize hazır hâle getirmeleri beklenir (OB1). Bu süreçte dijital araçlar oluşturulup kullanılır (OB2). Verileri toplarken kişisel verilerin gizliliğine; tutarlı, tarafsız, doğru ve güvenilir olmasına dikkat edilmesinin önemine vurgu yapılmalıdır (D6.2, D8.2). Ayrıca bu süreçte toplanan verilerin araştırma sorusuna cevap vermesi ile elde edilen sonuçların evrene genellenip genellenemeyeceği, eleştirel bir bakış açısıyla tartışılmalıdır (E3.10). Örneğin A okulunda öğrenim gören 11. sınıf öğrencilerinden belirlenen bir örneklemden elde edilen sonuçlarla B okulunda öğrenim gören 11. sınıf öğrencilerinden elde edilen sonuçların benzerlik veya farklılık gösterip göstermeyeceği, bu sonuçların aynı ildeki tüm 11. sınıf öğrencilerine genellenip genellenemeyeceği tartışılabilir.

Öğrenciler tarafından oluşturulan istatistiksel araştırma soruları ve veri toplama planları, istatistiksel araştırma sorusu ve veri toplama planı ölçütleri doğrultusunda oluşturulan kontrol listesiyle değerlendirilebilir.

Öğrencilerden araştırma soruları bağlamında iki nicel değişken arasındaki ilişkililiği analiz edebilmek için görselleştirme ve özetleme araçlarından (tablo, serpme diyagramı, bölgelere göre sayım oranı, korelasyon katsayısı) öncelikle tablo ile verileri gözlemlemeleri istenir (MAB3). Burada öğrencilerin bir değişkenin değerleri değişirken diğer değişkenin değerlerinin değişimine (veri setindeki değişkenlerin birlikte değişebilirliği) odaklanmaları sağlanır. Korelasyon katsayısının anlamlandırılabilmesi için istatistik yazılımları yardımıyla serpme diyagramı oluşturulur ve bölgelere göre sayım oranı hesaplanır (MAB5). İki değişkenin ilişkililiğinde aykırı değerlerin korelasyon katsayısını etkileyeceği dikkate alınmalıdır.

Analiz süreci tamamlandığında elde edilen sonuçlara ilişkin olarak öğrencilerle sınıf içi tartışma yapılmalıdır. Öğrenciler, elde ettikleri sonuçları arkadaşlarıyla paylaşarak birbirlerinin düşüncelerini nazik bir şekilde dinler; ayrıca kendi sonuçlarıyla arkadaşlarınınkileri karşılaştırır (SDB2.1, D14.1). Bu tartışma sürecinde öğrencilerin iki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönü (pozitif/negatif) ve gücüne (ilişki yok/zayıf/orta/güçlü) ilişkin yorumlar yapmaları istenir. Sonuçları yorumlarken öğrencilerin iki nicel değişkenli verilerde ortaya çıkan ilişkinin bir neden-sonuç ilişkisi olmadığını ayırt etmelerine yönelik tasarımlar yapılmalıdır. Örneğin atomların ağırlığı ile yoğunluğu arasında pozitif yönde bir ilişki ortaya çıktığında atomların atomik ağırlığı arttıkça yoğunluğunun artma eğiliminde olduğu yorumu yapılabilir. Ancak bu durum, atomun atomik ağırlığının artmasının yoğunluğun artmasına sebep olduğu anlamına gelmemektedir. Atomun farklı özellikleri (metal olup olmaması, katı, sıvı, gaz olma hâli) yoğunluğu etkileyebilir.

Analizler tamamlandıktan sonra öğrencilerin araştırma sorularına dönerek elde ettikleri sonuçlardan hareketle araştırma sorusuna cevap vermeleri beklenir. Bu süreçte öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bütün bileşenlerini sistematik bir şekilde gözden geçirmeleri desteklenmelidir (E3.7). Araştırma sorularına verilecek cevapların istatistiksel ifadeler içermesi önemlidir. Bu süreçte ayrıca öğrencilerin seçilen örneklem dağılımından hareketle evren dağılımı hakkında genellemeler yapmaları ve elde edilen sonuçları, belirsizliği dikkate alan bir dille ifade etmeleri beklenir. Öğrencilerden istatistiksel araştırma sürecinin bütününü değerlendirmeye yönelik bir kavram haritası oluşturmaları istenebilir. Öğrencilere iki nicel değişken arasındaki ilişkililiğe odaklanan istatistiksel araştırma süreçlerinin bütününü değerlendirmeye yönelik bir performans görevi verilebilir.

MAT 11.3.2
Öğrencilerin başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel bilgilere eleştirel gözle bakabilmesi ve bu bilgileri derinlemesine düşünerek değerlendirmesi önemlidir (E3.10, SDB3.3). Bu bağlamda öğrencilere iki nicel değişkenli verilerin ilişkililiğine yönelik hatalı/yanlı sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminleri içeren çalışma kâğıdı verilerek bunları incelemeleri istenebilir. Öğrencilerin var olan istatistik bilgileri doğrultusunda istatistiksel temellendirme yapmalarına imkân verecek ortamlar oluşturulmalıdır. Buradan hareketle öğrencilerin verilen durumlara şüpheyle ve eleştirel bakmaları, istatistik bilgilerini kullanarak hataları/yanlılıkları tespit etmeleri istenmelidir (E3.9, E3.10). Öğrencilerin belirlediği hatalar ve yanlılıklar tartışmaya açılmalıdır (SDB2.1). Öğrencilerden bu hata ve yanlılıkları eleştirel gözle değerlendirmeleri beklenir (KB3.3). Öğrenciler ürettikleri fikir ve değerlendirmelerinden hareketle iki nicel değişkenli verilerin ilişkililiğine yönelik hatalı/yanlı sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminleri çürütmeli ya da kabul etmelidir. Öğrencilerin bu süreçte hem verileri doğru ve objektif değerlendirmesi hem de bu değerlendirmenin önemini ve yanlılığın yol açacağı olumsuz sonuçları dikkate alması önemlidir (D6.2).

(*) Öğrencilerden kendilerine verilen çok değişkenli veri setlerinden hareketle uygun iki nicel değişken belirleyerek bir araştırma sorusu hazırlamaları ve bu doğrultuda istatistiksel araştırma süreci tasarlayarak yürütmelerine yönelik proje hazırlamaları istenir. Öğrencilerin elde ettiği sonuçları sunum, poster, bilgi görseli gibi araçlarla veya dijital ortamlarda içerik oluşturarak diğer arkadaşları ile paylaşmaları ve deneyimlerini ifade etmeleri sağlanır.

Öğrencilerden iki nicel değişkenin ilişkililiğine yönelik dağılımlar içeren istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminleri içeren durumları araştırmaları istenir. Bu durumları araştırırken hangi kaynakları (gazete haberleri, dijital kaynaklar, resmî kaynaklar gibi) kullanabileceklerine ve bu kaynakları kullanırken nelere dikkat etmeleri gerektiğine dair paylaşımlar yapmaları beklenir. Bu araştırmalarında fark ettikleri noktaları eleştirel olarak değerlendirmeleri istenebilir. Örneğin bireylerin beyinlerinin dış kabuk kısmının kalınlığının zekâ düzeyi ile ilişkililiğini inceleyen bir araştırmanın sonuçlarını öğrencilerin değerlendirmeleri istenir. Elde edilen sonuçlar ile görsel (saçılım grafiği) ve sayısal değer (korelasyon katsayısı) arasında tutarlılık olup olmadığı; yanlı, yanlış veya eksik bilgilerin olup olmadığı incelenerek öğrenciler tarafından değerlendirilir. Öğrencilerin yaptıkları bu değerlendirmeleri sunum, poster, bilgi görseli gibi araçlarla veya dijital ortamlarda içerik oluşturarak arkadaşları ile paylaşmaları ve deneyimlerini ifade etmeleri sağlanır.

Öğrencilerden korelasyon katsayısının nasıl hesaplandığına ilişkin kendilerine verilen formülü kullanarak gerçek yaşam durumları üzerinden hesaplamalar yapmaları istenir. Öğrenciler, yapılan bu hesaplamalarda teknolojik araçlardan (örneğin hesap makinesi) faydalanır. Bu süreçte öğrencilerden yaptıkları hesaplamalara ilişkin gerekçelendirmeler sunarak bu gerekçeleri ifade etmeleri beklenir.

(*) Öğrencilerin korelasyonel araştırma yöntemi kullanılarak yapılmış bir bilimsel çalışmayı analiz etmesi, arkadaşlarıyla tartışması sağlanır.

Öğrencilerin iki nicel değişkenin ilişkililiğini içeren istatistiksel araştırma sürecine dâhil olmaları için grup çalışması yapılır. Gruplar heterojen şekilde düzenlenir. Bu sayede öğrenciler akran öğrenmesi ile istatistiksel araştırma sürecini anlamlandırır.

Öğrencilerden günlük hayatlarında karşılarına çıkma ihtimali daha fazla olan nicel veri setlerinden (boy uzunluğu, sıcaklık değerleri gibi) hareketle araştırma sorusu oluşturmaları, veri toplamaları ve bu verileri analiz ederek yorumlamaları istenir.

Öğrencilerin daha küçük veri setleri üzerine çalışmaları sağlanır.

Öğrencilere iki nicel değişkenin ilişkililiğine odaklanan istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminler daha basit düzeyde (öğrencilerin daha aşina oldukları durumları içermesi gibi) sunulur ve öğrencilerden bunlara ilişkin değerlendirme yapmaları istenir.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D7. Estetik, D14. Saygı, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık

Öğrencilerin önceden edindikleri bilgilerden sayı örüntüleri hakkında çıkarım yapabildikleri ve doğrusal değişim içeren bir durumu doğrusal fonksiyonun cebirsel ifadesi olarak genelleyebildikleri kabul edilmektedir. Ayrıca cebirsel temsilleri verilen üstel fonksiyonların istenen değerlerini bulabildikleri ve üstel değişimi yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere farklı sayı örüntüleri içeren çalışma kâğıtları verilerek örüntülerin farklı elemanlarını veya kuralını bulma çalışmaları yaptırılır. Öğrencilere cebirsel temsilleri verilen üstel fonksiyonların istenilen değerlerini bulmalarına ve üstel değişimi yorumlamalarına yönelik hazır bulunuşluk testi yaptırılır. Tespit edilen hataları veya öğrenme eksikliklerini gidermek için gerekli açıklama, hatırlatma ve kavramlar arası ilişkilendirmeler yapılır.

Öğrencilerin örüntü bilgilerinden yararlanarak örüntünün terimlerinin bir dizi oluşturduğu fikri üzerine tartışmaları sağlanır. Doğrusal ilişki içeren bir gerçek yaşam durumundan elde edilen örüntünün tablo ve cebirsel temsilinin bulunması çalışmalarına yer verilerek bu ilişkiyi temsil eden fonksiyonun cebirsel ifadesi ile artış miktarı ve ilk terim ilişkilendirilir.

Doğrusal değişim ile üstel değişimin karşılaştırılması amacıyla uygun gerçek yaşam durumları (her gün belirli bir sayfa sayısı kadar kitap okuma, bir pastayı dilimlere ayırma, kâğıt katlama gibi) incelenir.

MAT.12.1.1
Öğrenciler gruplara ayrılarak her gruba farklı sayı örüntüleri içeren çalışma kâğıdı verilebilir. Böylelikle öğrencilerin iletişim ve iş birliği becerilerinin geliştirilmesine olanak sağlanır (SDB2.2). Öğrencilerin sayı örüntülerindeki ardışık terimleri inceleyerek bu terimler arasındaki fark ya da orana odaklanmaları istenir. Her grubun kendi sayı örüntülerindeki ardışık terimler arasındaki aritmetik ilişkileri ortaya çıkarmaları istenir. Öğrencilerden ardışık terimleri arasındaki farkı ya da oranı sabit olan örüntüleri ve terimleri arasında bu tür bir ilişki olmayan örüntülerden ayırt edebilmeleri beklenir. Bu örüntülerin terimlerini ifade etmek için adım sayısı n sıfır hariç bir doğal sayı olmak üzere örüntünün n. teriminin  şeklinde temsil edildiği ifade edilerek farklı örnekler üzerinden örüntünün genel terimini bulmaya yönelik çalışmalar yapılır (MAB3). Bu dizilerin genel terimlerinin elde edilen ortak fark/ortak oran ile ifade edileceği üzerinde durulur. Bu çalışma sürecinde öğrencilerin kendi düşüncelerini etkin bir şekilde ifade edebilmeleri, arkadaşlarıyla düşüncelerini paylaşabilmeleri ve diğerlerinin düşüncelerini saygı çerçevesinde dinleyerek sözlü/sözsüz iletişimde bulunabilmeleri desteklenir (SDB2.1, SDB2.2, D14.1). Aritmetik ve geometrik dizi tanımları birlikte verilir. Öğrencilerden verilen farklı aritmetik ya da geometrik dizilerin ilk n teriminin toplamının ne olabileceği hakkında varsayımlarda bulunmaları istenir. Bu toplamların dizinin genel terimi ile ifade edilmesine dair genellemeler elde edilir. Öğrencilerin farklı örnekler üzerinden ulaştıkları genellemeleri varsayımları ile karşılaştırmaları beklenir. Buradan yola çıkarak öğrencilerin “aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamının ilk terim ile son terim toplamının terim sayısının yarısı ile çarpımına eşit olduğu”, “ardışık terimleri arasındaki ortak oranı r olan bir geometrik dizisinin ilk n terimin toplamının ye eşit olduğu” gibi önermeleri elde edebilecekleri çalışmalar yapılır (D17.2). Elde edilen önermeler gerçek yaşam durumlarında ve farklı problem durumlarında (birikim yapma, bir sonraki doğum gününün hangi güne geleceğini belirleme, belli bir yükseklikten serbest bırakılan topun her defasında belirli bir oranda sıçradığı durumlar gibi) işe koşularak değerlendirilir.

Sonlu aritmetik ve geometrik dizilerin toplamlarına ilişkin elde edilen önermelerin görsel olarak doğrulanması ve cebirsel olarak ispat edilmesi sağlanır. Görsel doğrulamalarda oluşan şekillerin estetik açıdan değerlendirilmesi yapılır (D7.1). İspat adımlarının sistematik ve aşamalı olarak yapılması önemlidir (E3.6, E3.7). Görsel doğrulamalar ve farklı cebirsel ispatlar incelenerek kullanışlılık açısından değerlendirilir.

Öğrencilerden ekonomi ve fizik gibi alanlarla ilgili farklı aritmetik ve geometrik dizi örnekleri sunmaları ve bu dizilerin toplamlarını belirlemeleri istenir. Öğrencilerin buldukları dizi örneklerinden seçilenler, dijital içerik üretme ve paylaşma becerilerini geliştirmelerine destek olacak biçimde çevrim içi araçlardan da yararlanılarak sergilenir (OB2, MAB5). Öğrencilere farklı aritmetik ve geometrik dizi örneklerinin sunulacağı ve bu dizilerin toplamlarına ilişkin önermeler geliştirilip bu önermelerin gerçek yaşam durumları bağlamında değerlendirileceği bir performans görevi verilebilir.

MAT.12.1.2
Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar ile gerçek sayı dizilerinin özelliklerinin ilişkilendirilmesi için öğrencilere farklı fonksiyon ve dizi örnekleri sunulur. Örneğin rasyonel referans fonksiyon ile dizisi incelenir. Rasyonel referans fonksiyonun alacağı değerler ile dizisinin terimlerinin karşılaştırılması sağlanır. Bu bağlamda rasyonel fonksiyonun değerleri ile dizisinin hangi terimlerinin eşleştiği sorusuna cevap aranır. Daha sonra fonksiyonun görüntü kümesinde eşleşmeyen elemanların olup olmadığı sorularak bu elemanlardan bazılarının tanım kümesinden yararlanılarak belirlenmesi istenir. Fonksiyonların nitel özelliklerinden artanlık-azalanlık, dizilerde monoton artan-monoton azalan olarak ifade edilir. Doğrusal ve karesel fonksiyonlardan faydalanılarak monoton olmayan diziler için örnek teşkil edecek genel terimlerin yazılması çalışmalarına yer verilir. Benzerliklerin ve farklılıkların incelendiği fonksiyon ve dizi örnekleri incelenir. Fonksiyonlar ile gerçek sayı dizileri arasındaki ilişkiler, “Diziler, tanım kümesi sıfır hariç doğal sayılar olan fonksiyonlardır.” gibi çıkarımlarla ortaya konur. Gerçek sayı dizileri ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar birlikte incelenip ilişki kurulduktan sonra öğrencilere bu dizi ve fonksiyonların gerçek yaşam durumlarına yansımalarını araştırmayı gerektiren bir performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden aritmetik ve geometrik diziler dışında farklı gerçek sayı dizilerini araştırmaları, bu dizilerin aritmetik ve geometrik diziler ile benzerlik ve farklılıklarını ortaya koymaları istenir. (*) Rekürsif (öz yinelemeli) ve iteratif (yinelemeli) diziler ile bu dizilerin algoritma ve akış şemalarının yazımı araştırma ödevi olarak verilerek öğrencilerden örnek uygulamalar istenir. (*) Ayrıca aritmetik dizilerin öz yinelemeli dizilere dönüşen örneklerine yer verilir. Toplam sembolleri ve dizilerin bu sembollerle gösterimleri ile ilgili araştırma ödevi verilir. Aritmetik ve geometrik seriye örnekler verilerek seri toplamları ile ilgili örneklere yer verilir.

Aritmetik ve geometrik diziler konusuna önceden öğrendikleri sayı örüntüleri hakkında yapılacak çalışmalarla başlanır. Öğrencilerden sınırlı sayıda elemanı olan sayı örüntülerini girdi (adım sayısı) ve çıktı (örüntünün elemanı) olarak elektronik tablolarda işleyerek örüntünün kuralını bulmaları, bu fikri aritmetik ve geometrik dizilere uyarlamaları istenir.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim

D13. Sağlıklı Yaşam, D14. Saygı, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı

Öğrencilerin fonksiyonlarla dört işlem ve dönüşüm yapabildikleri; doğrusal ve karesel fonksiyonların nitel özelliklerini belirleyebildikleri; doğrusal ve karesel fonksiyonlarla ifade edilen denklem ve eşitsizlikleri çözebildikleri ve karesel bir fonksiyonun cebirsel ifadesini, ifadenin tamkare formunu elde ederek çarpanlara ayırabildikleri kabul edilmektedir.

Gerçek yaşam durumu örnekleri üzerinden doğrusal ve karesel fonksiyonların nitel özelliklerine yönelik açık uçlu sorular sorularak öğrencilerin kavram yanılgıları ve öğrenme eksiklikleri belirlenir. Öğrencilere fonksiyonlarda dört işlem yapma, doğrusal ve karesel fonksiyonlara dönüşümler uygulayarak farklı fonksiyonlar türetebilme becerilerinin, bu konudaki kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla hazır bulunuşluk testi yapılır. Öğrencilerin karesel bir fonksiyonun cebirsel ifadesini tamkare forma dönüştürüp çarpanlara ayırabilme, doğrusal ve karesel fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemleri çözebilme becerilerini test etmek için açık uçlu sorular sorulur.

Öğrencilerin gerçek yaşamda karşılaşılan iki nicelik arasındaki doğrusal veya karesel olmayan ilişkilerden yararlanarak farklı fonksiyon temsillerine olan ihtiyacı fark etmeleri sağlanır. Doğrusal ve karesel fonksiyonların ortak özellikleri ve bu fonksiyonların cebirsel temsilleri incelenerek aynı cebirsel yapıya sahip daha büyük dereceden fonksiyonların nasıl elde edilebileceği tartışılır. Bu tür fonksiyonların dereceleri değiştiğinde matematiksel temsillerinin ve nitel özelliklerinin nasıl değişebileceği matematik yazılımlarından faydalanılarak tartışılır. Ayrıca doğrusal ve karesel fonksiyonlarla ilgili öğrenme güçlüklerinin belirlenebilmesi için öğrencilerden yansıtıcı günlükler tutmaları istenir. Böylece öğrencilerin konuya ilişkin ilgi ve ihtiyaçları hızlı bir şekilde belirlenebilir, konunun işleniş sürecinde yaşanabilecek olası sorunlara karşı gerekli önlemler alınır.

MAT.12.1.3
Öğrencilerden doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel ve grafik temsillerini inceleyerek ne gibi ortak özellikleri olduğuna dair gözlemlerini ifade etmeleri istenir. “Bu tür fonksiyonların cebirsel temsillerinde bağımsız değişkenin kuvvetleri doğal sayı, katsayıları ise gerçek sayıdır.” gibi sonuçlar elde etmeleri beklenir. Doğrusal ve karesel fonksiyonların cebirsel temsilleri ile yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri sonucu elde edilen cebirsel temsillerin yine gerçek sayılarda fonksiyon ifade edeceğini fark etmeleri sağlanır. Bu gözlemlerden hareketle bu tür fonksiyonların cebirsel temsillerinin genelleştirmesi olarak p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1+ ... + a₁ x¹+ a₀ (n∈ℕ) formu tanıtılır (MAB3). Bu cebirsel formların polinom olarak adlandırıldığı belirtilerek polinomun derecesi, başkatsayısı, sabit terimi tanıtılır. Genellenen bu cebirsel forma sahip fonksiyonlar, gerçek sayılarda tanımlı n. dereceden tek değişkenli polinom fonksiyonlar olarak ifade edilir ve öğrencilerden bu fonksiyonların derecelerini belirleyebilmeleri beklenir. Bu bağlamda öğrencilerin doğrusal ve karesel fonksiyonların tanım ve değer kümesi ile işlem özelliklerini, birinci ve ikinci dereceden polinom fonksiyonların tanım ve değer kümesi ile işlem özelliklerini inceleyip karşılaştırması sağlanır. Öğrencilerden bu fonksiyonların polinom fonksiyonlarla aynı aileden olmasına ve benzer nitel özelliklerine yönelik çıkarımlarda bulunmaları beklenir. Öğrencilere doğrusal ve karesel fonksiyonların polinom özelliklerine yönelik bir performans görevi verilebilir. 

MAT.12.1.4
Öğrencilere birinci ve ikinci dereceden polinom fonksiyonların grafik temsilleri üzerinden nitel özelliklerinin neler olduğuna ve bu özelliklerin nasıl belirlendiğine yönelik açık uçlu sorular sorulur. Bu bilgilerden hareketle öğrencilerden polinomların dereceleri ile fonksiyonların sıfırlarının sayısı arasındaki ilişkiye dair fikirler geliştirmeleri beklenir. En fazla dördüncü dereceden polinom fonksiyonların grafik temsilleri üzerinden bu fonksiyonların nitel özellikleri incelenir (OB4). Bu incelemelerde matematik yazılımlarından faydalanılır. Polinom fonksiyonların çarpanlarına ayrılmış formda verilen cebirsel temsili üzerinden hangi nitel özelliklerinin belirlenebileceğine yönelik sınıf içi tartışma yapılır. Bu tartışmalar yapılırken öğrencilerden birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve diğerlerinin düşüncelerini saygı çerçevesinde dinleyerek arkadaşlarıyla etkileşim kurmaları beklenir (SDB2.1, D14.1). Tartışmalar sonucunda öğrencilerin en fazla dördüncü dereceden bir polinom fonksiyonun nitel özellikleri (tanım kümesi, görüntü kümesi, derecesi, bire birliği, örtenliği, işareti, sıfırları, tekliği-çiftliği, sonsuzdaki davranışı) ile ilgili varsayımlarda bulunmaları beklenir. Bu nitel özelliklerden fonksiyonun sıfırlarının sayısı ve sonsuzdaki davranışı ile polinomun derecesi ve başkatsayısı arasındaki ilişkileri keşfetme çalışmalarında matematik yazılımlarından da faydalanılır. Varsayımlar arasında bütün sıfırları birbirine eşit ve gerçek sayı olan üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun bire bir ve örten olacağı, buna karşılık dördüncü dereceden polinom fonksiyonların bire bir olamayacağı gibi sonuçlara ulaşılması sağlanır. Öğrencilerin teklik-çiftlik incelemesi yapabilecekleri uygun polinom fonksiyonların (p(x) = x³ + 3x, p(x) = x⁴+ x²− 5 gibi) matematik yazılımıyla oluşturulan grafik ve cebirsel temsillerini inceleyerek bu fonksiyonların teklik veya çiftlik durumlarına dair varsayımlarda bulunmaları sağlanır (OB2, MAB5). Benzer şekilde bir polinom fonksiyonun grafik temsiline dönüşümler uygulanır. Elde edilen polinom fonksiyonlar ile dönüştürülen polinom fonksiyon karşılaştırılarak nitel özelliklerle ilgili varsayımlarda bulunulur. Ayrıca her üçüncü dereceden polinom fonksiyonun cebirsel temsili üzerinden artan veya azalan olduğu aralıkların belirlenemeyeceğinin fark edilmesi sağlanır. Bu varsayımlardan hareketle polinom fonksiyonlar için farklı sıfırlarının sayısının en fazla veya en az kaç olacağı, yapılan dönüşüme bağlı olarak nitel özelliklerinin nasıl değişeceği, hangi durumda tek veya çift olacağı gibi genellemelere ulaşılır. Elde edilen genellemeler ile varsayımların polinom fonksiyonların katsayılarının veya bağımsız değişkeninin aldığı değerlere göre cebirsel, grafik temsillerinden veya matematik yazılımlarından yararlanılarak karşılaştırılması sağlanır. Örneğin “ An ∈ ℕ için p(x)=x²ⁿ polinom fonksiyonları ve bu fonksiyonların toplam, fark ve çarpımları ile elde edilen fonksiyonlar çift fonksiyonlardır.” veya “ An ∈ ℕ için p(x)=x²ⁿ⁺¹ polinom fonksiyonları tek fonksiyonlardır.” önermeleri oluşturulur. Benzer şekilde “p(x) polinom fonksiyonunun sıfırları k, m ise p(k)=p(m)=0 olur.”, “p(x) polinom fonksiyonunun sıfırları k, m (k, m∈ℝ) iken a > 0 olmak üzere p(x-a) polinom fonksiyonunun sıfırları k + a, m + a olur.” gibi önermeler elde edilir (MAB3). Elde edilen önermeler polinom fonksiyonlarla modellenebilen gerçek yaşam durumlarında değerlendirilir. Bu fonksiyonlar fizik ve mühendislik bağlamında hareket, ivme, kuvvet, enerji, sürtünme gibi alanlarda incelenir. Örneğin yer çekimi etkisinde belirli bir hızla belirli bir yükseklikten aşağı bırakılan bir cismin zamana bağlı yerden yüksekliği polinom fonksiyonlarla modellenebilir. Ekonomi bağlamında ürün adedine bağlı maliyet ve kâr fonksiyonları, polinom fonksiyonlar kullanılarak oluşturulabilir (OB3). Biyoloji ve tıp bağlamında kandaki glikoz, üre ve oksijen miktarındaki veya kan basıncındaki zamana bağlı değişim polinom fonksiyonlarla modellenerek incelenebilir (D13.4). Öğrencilere polinom fonksiyonların derecesinin, işaretinin, sıfırlarının, tekliğinin-çiftliğinin ve sonsuzdaki davranışının incelendiği sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir.

Harizmi, Ömer Hayyam, Ali Kuşçu ve Cahit Arf gibi matematikçilerin polinom fonksiyonlarla ilgili çalışmaları ve Kereci'nin bazı algoritmaları cebirsel ifadelerde (özellikle de polinomlarda) uygulamayı hedefleyen projesi incelenir (OB5). Polinom fonksiyonların tarihî gelişiminin incelendiği araştırma ödevi verilerek öğrencilerin sistematik bir şekilde konunun gelişimini incelemesi teşvik edilebilir (E3.7).

MAT.12.1.5
Rasyonel fonksiyonların iki polinom fonksiyonun birbirine bölümünden oluştuğu ifade edilir. Gerçek yaşam durumlarında polinom veya rasyonel fonksiyonlarla modellenebilen problemler incelenir. Problem durumlarında geçen polinom veya rasyonel fonksiyonların ax+b (a, b∈ℝ, a ≠ 0) veya ax²+bx+c (a, b, c∈ℝ, a ≠ 0) şeklindeki cebirsel ifadelerin çarpımı veya bölümü şeklinde olmasına dikkat edilir. Bu fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizliklerin çözümlerine ulaşabilmek için deneme yanılma, fonksiyonun nitel özellikleri ve grafik temsilinden yararlanma, tablo oluşturma gibi yöntemler kullanılır (OB4, E3.7). Verilen farklı problem durumlarında uygun bir strateji seçilerek denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümeleri elde edilir. Cebirsel yöntemle f(x)<g(x) gibi polinom veya rasyonel fonksiyon içeren eşitsizliklerin çözümünde h(x)=f(x)-g(x) fonksiyonunun işaretini birinci dereceden çarpanlarının işaretine göre belirlemeyi sağlayan işaret tablosu adım adım oluşturulur. Elde edilen çözüm kümelerinin doğruluğu, sayısal değerleri deneme yoluyla veya matematik yazılımları kullanılarak kontrol edilir (MAB5). Öğrencilere polinom ve rasyonel fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemlere ilişkin çalışma kâğıdı verilebilir. Çalışma sonunda öğrencilerin kendilerini değerlendirebilecekleri öz değerlendirme formu hazırlanabilir (SDB1.2).

Öğrencilerin polinom ve rasyonel fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizlik çözümleri ile ilgili olası farklı çözüm stratejilerini analitik ve sistematik bir şekilde incelemeleri sağlanır (E3.6, E3.7). Öğrenciler, problemlerde çözüme ulaştıran stratejilerin başka problem durumlarına uyarlanabilmesi için fonksiyonda sıfırlarının birbirine eşit olması veya ikinci dereceden çarpanının gerçek kökünün olmaması durumlarında fonksiyonun işaretine dikkat edilmesi gerekliliği gibi çıkarımlarda bulunur. Öğrencilerin bu çıkarımları matematiksel bir modele dönüştürmeleri sağlanır. Örneğin belirli bir fiyata alınan kartondan küp şeklinde bir kutu oluşturulduğu ve bu kutunun belirli bir birim küp fiyatı üzerinden satıldığı durumda satıcının kâr elde edebilmesi için kutunun ayrıt uzunluğunun en az kaç birim olabileceğine ilişkin matematiksel modelleme yapılabilir (OB3, D17.3). Elde edilen matematiksel modeller sınırlılık, kullanışlılık ve verimlilik açısından değerlendirilir. Öğrencilere polinom ve rasyonel fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizliklerin kullanıldığı gerçek yaşam problemlerinden oluşan proje ödevi verilebilir.

(*) Öğrencilerin bir polinom fonksiyonun sıfırının işaretinin ne olacağına veya p ve q birer polinom fonksiyon olmak üzere p(x) = q(x)denkleminin çözüm kümesindeki elemanların hangi ardışık tam sayılar arasında olacağına dair çıkarımda bulunmaları fonksiyonların grafikleri incelenerek sağlanır.

(*) Polinom interpolasyonu yöntemi kullanılarak bir polinom fonksiyonun cebirsel temsilinin bulunmasına yönelik çalışmalar yapılır. Örneğin bazı noktalarda aldığı değerleri bilinen bir polinom fonksiyonun cebirsel temsili polinom interpolasyonu yöntemi ile bulunabilir. Farklı stratejiler kullanılarak ve elde edilen sonuçlardan yararlanılarak belirlenen cebirsel ifadenin doğruluğu kontrol edilir.

(*) Öğrencilere en fazla dördüncü dereceden gerçek katsayılı bir p polinom fonksiyonu için p(x) = 0 denkleminin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntıları veren Vieta (Viet) formüllerine yönelik araştırma ödevi verilebilir. Öğrencilerden araştırma sonucunda ulaşılan verileri kullanarak gerçek katsayılı polinom fonksiyonların sıfırlarının bulunmasına yönelik elde edilen cebirsel formülleri ispatlaması beklenir. Ayrıca öğrencilerden bir polinomun sıfırlarının gerçek sayı ya da karmaşık sayı olması durumlarına dair çıkarımlar yapmaları beklenir. Polinomlarda bölme algoritmasına ve Horner (Hornır) yöntemine yer verilir. Bir kökü tahmin edilen bir polinom fonksiyonun diğer köklerini araştırmak için bölme algoritması ve Horner yöntemi kullanılabilir.

Üçüncü veya dördüncü dereceden polinom fonksiyonlara p(x)=x³ ve q(x)=x⁴ fonksiyonlarının cebirsel ve grafik temsillerinin incelenmesi ve ilişkilendirilmesi ile başlanır. Rasyonel fonksiyonlara payı ve paydası birinci veya ikinci dereceden polinomlardan oluşan uygun koşullarda şeklinde tanımlı fonksiyonlar incelenerek başlanır.

Polinom fonksiyonların nitel özelliklerinin incelenmesine yönelik çözülen örneklerin sayısı artırılır ve incelemeler yapılırken matematik yazılımlarından yararlanılır. Polinom fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili genellemelere ulaşılamadığı durumlarda sayısal örnekler kullanılarak öğrencilerden sınırlı genellemeler yapmaları istenir.

Polinom ve rasyonel fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemlerin çözümlerinde hesap makinesi, çevrim içi araçlar veya matematik yazılımlarından yararlanılır. 

Polinom fonksiyonlar ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam araçları (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır. Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur ve polinom fonksiyonlar konusunda öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D3. Çalışkanlık, D4. Dostluk, D14. Saygı, D16. Sorumluluk

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin fonksiyon kavramını yorumlayabildiği, fonksiyonlarla işlemler yapabildiği; doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile polinom fonksiyonların matematiksel temsillerini oluşturabildiği; bu fonksiyonların cebirsel gösterimindeki katsayıları ile nitel özellikleri arasında ilişki kurabildiği; bu fonksiyonlarla elde edilebilen birinci ve ikinci dereceden denklemleri çözebildiği ve rasyonel fonksiyonları çarpanlara ayırabildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin 9 ve 10. sınıfta öğrendiği referans fonksiyonlar, parçalı gösterimli fonksiyonlar ve polinom fonksiyonlar hakkındaki ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için öğrencilere hazır bulunuşluk testi yapılabilir. Fonksiyonların grafik temsiline ve nitel özelliklerine ilişkin açık uçlu sorular sorulabilir. Birinci ve ikinci dereceden denklem çözme bilgisine yönelik kısa cevaplı sorular sorulabilir. İkinci dereceden fonksiyonlarda çarpanlara ayırma bilgisini belirlemek için açık uçlu sorular sorulabilir. 

Referans fonksiyonlar ve polinom fonksiyonlar özelinde fonksiyonların grafik temsilleri bağlamında bir nokta civarındaki veya sonsuzdaki davranışları kavram haritasıyla belirlenebilir. Arşimet’in 2π sayısına olabildiğince yakın bir sayı elde etmek için yapmış olduğu çalışmalar hakkında tartışmalar yapılabilir. Öğrencilere grafik temsilleri verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlarda fonksiyonun belirli bir nokta civarında aldığı değerleri belirlemeye neden ihtiyaç duyulabileceğine dair sorular sorulur. Gündelik dilde limit kelimesinin ne anlama geldiği hakkında tartışmalar yapılır. gibi devirli ondalık gösterimler incelenerek öğrencilerin bir sayıya yaklaşma hakkındaki düşünceleri geliştirilebilir. Bu bağlamda farklı disiplinlerden örnekler (felsefede Zenon’un paradoksları, mühendislikte bir tahta köprünün üzerindeki yükün sınır değeri olması gibi) üzerinden limit fikrine duyulan ihtiyaç vurgulanır. Bu sayede ilk defa limit kavramını görecek olan öğrencilerin konuyla ilgili ön fikirler oluşturmaları desteklenir.

Fibonacci (Fibonaççi) dizisinin terimleri yazılarak ardışık iki terim arasındaki oranlar; elektronik tablo, hesap makinesi gibi uygulamalarla belirlenebilir. Böylelikle terimlerin değeri büyüdükçe bu oranın altın orana yaklaştığının fark edilmesi sağlanır.

Geometrik dizilerin sonlu toplamını veren cebirsel ifade hatırlatılarak geometrik dizi sonsuz terimli olduğunda bu geometrik dizinin terimlerinin toplamını veren cebirsel ifadede ne gibi değişimler olabileceği tartışılır. Tüm bu tartışmalar yapılırken öğrencilerin birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve birbirleriyle etkileşim sağlamaları beklenir.

MAT.12.2.1
Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek bilinen tüm nitel özelliklerin dışında başka ne gibi özelliklerin olabileceği ile ilgili sınıf içi tartışma yapılır. Öğrencilere farklı grafik temsilleri verilerek bu temsilleri yorumlayabilmek için hangi bilgilere ihtiyaçları olduğu sorgulanır (SDB1.2). Bu ihtiyaçları karşılamaya yönelik olarak yaklaşma fikrinden söz edilir. Üstel, logaritmik ve rasyonel referans fonksiyonların grafik temsilleri incelenir. İnceleme sonucunda bu fonksiyonların bir nokta civarındaki ve sonsuzdaki davranışı gözlemlenir. Gözlemler neticesinde fonksiyonun sonsuzdaki davranışına dayanarak yatay asimptot ve dikey-düşey asimptot kavramlarının tanımlarına ulaşılır. Ayrıca parçalı gösterimli fonksiyonların cebirsel ifadesinin değişim noktasına grafik temsili üzerinden sağdan ve soldan yaklaşıldığında fonksiyonun alacağı değerler incelenir (OB4). Tüm bu gözlemler neticesinde bir fonksiyonun belirli bir noktasının sağdan ve soldan yaklaşım değerlerini incelemek bağlamında limit fikrinden söz edilir. Ayrıca fonksiyonların sonsuzdaki davranışı asimptotlardan ve limit fikrinden yararlanılarak incelenir. Örneğin uygun koşullarda şeklinde tanımlı fonksiyonun grafik temsilinde y = 0 doğrusunun bu fonksiyonun yatay asimptotu olduğu belirlenebilir. Bu bilgiden hareketle fonksiyonun tanım aralığındaki değerler sınırsız büyür veya küçülürken fonksiyon değerlerinin sıfıra yaklaştığı sözel olarak ifade edilir. Bu fonksiyonların belirli noktalardaki limit değeri o noktaya sağdan ve soldan yaklaşım fikriyle belirlenir ve limit değeri sözel olarak ifade edilir. Verilen fonksiyon grafikleri üzerinden fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki veya sonsuzdaki davranışını belirlemeye yönelik olarak öğrencilere çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.12.2.2
Cebirsel temsili verilen fonksiyonlarda limit değeri öncelikle tablo ve grafik temsillerden yararlanılarak belirlenir. Bu noktada limit değerine olan ihtiyacı vurgulamak için gerçek yaşam örnekleri verilmesi tercih edilir. Örneğin fizikte bir hareketlinin t zamanında aldığı yolu modelleyen uygun koşullarda f(t)=t² şeklinde tanımlı fonksiyonun tablo ve grafik temsili incelenerek belirli bir t zamanı civarında aldığı değerler belirlenebilir. Elde edilen değerler eleştirel bir bakış açısıyla değerlendirilir (D3.3). Cebirsel ifadesi verilen parçalı gösterimli fonksiyonun değişim noktasına grafik temsili üzerinden sağdan ve soldan yaklaşıldığında fonksiyonun alacağı değerler incelenir. Örneğin bir kasabanın x yıl sonraki nüfusunu modelleyen uygun koşullarda şeklinde tanımlı bir fonksiyon öğrencilere sunulur. Çok uzun yıllar sonra nüfusun en fazla ne kadar olabileceği, matematik yazılımlarıyla incelenerek tartışılır. Böylece öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerinin gelişimine de katkı sağlanmış olur (OB2, MAB5). Bu şekilde öğrencilerin fonksiyonun sonsuzdaki davranışını anlamlandırması sağlanır. Cebirsel temsili verilen fonksiyonlar tablo ve grafik temsillerle incelenerek fonksiyonun belirli bir noktasındaki veya sonsuzdaki limiti, yaklaşım fikrinden yararlanılarak yorumlanır. Bu yorumlardan yola çıkılarak fonksiyonun x = a (a∈ℝ) noktası tanım aralığında bir sınır noktası olmamak üzere bu noktadaki limiti şeklinde gösterilir ve ise bu fonksiyonun x = a noktasında limitinin olduğu ifade edilir. x=a noktası tanım aralığında bir sol sınır nokta ise in gerçek sayıya eşit olması durumunda fonksiyonun x = a noktasında sağdan limitinin olduğu belirtilir. Benzer şekilde x=a noktası tanım aralığında bir sağ sınır nokta ise in bir gerçek sayıya eşit olması durumunda fonksiyonun x = a noktasında soldan limitinin olduğu ifade edilir (E3.6, E3.7, MAB3). Fonksiyonların belirli bir noktadaki veya sonsuzdaki limitleri matematiksel temsiller kullanılarak incelenir. olmak üzere fonksiyonun sol uç noktasında sağdan veya sağ uç noktasında soldan limiti varsa sırasıyla ve şeklinde yeniden gösterilir (MAB3). Öğrencilere grafik temsili verilen parçalı gösterimli fonksiyonlarda belirli bir noktadaki ve sonsuzdaki limitin belirlenmesine yönelik olarak çalışma kâğıdı verilebillir. Bu noktada limitin tarihî gelişimi açıklanarak limiti matematiksel temellere dayandıran Jean le Rond d’Alembert (Jön lö Ğun Delombeğ), Augustin Louis Cauchy (Ogüsta Lui Kuşi) ve Karl Weierstrass (Karl Vayaşthas) gibi matematikçilerin çalışmaları incelenebilir.

Öğrencilerin polinom, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafik temsillerini inceleyerek fonksiyonların tanımlı olduğu her noktada limitinin olabileceğine dair varsayımlar geliştirmeleri sağlanır. Fonksiyonlarda dört işlem ve bileşke işleminin limit özelliklerine yönelik varsayımlar, fonksiyonların matematiksel temsilleri incelenerek elde edilir. Örneğin uygun koşullarda f(x) = 1/x ve g(x) = x şeklinde tanımlı fonksiyonlar incelenerek  sonucuna ulaşılır (x = 0 dışındaki noktalarda bu eşitlik sağlanır.). Buradan hareketle öğrencilerin fonksiyonların çarpımlarının belirli bir noktada limit altında ayrılabilmesi için çarpımı oluşturan fonksiyonların ayrı ayrı o noktada limitinin olması gerektiği varsayımına ulaşmaları sağlanır. Bu varsayımlardan hareketle farklı fonksiyonların ve bu fonksiyonlarla yapılan işlemlerin belirli bir noktadaki veya sonsuzdaki limitlerine ilişkin genellemeler elde edilir. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Genellemelerden elde edilen önermeler; f+g, f-g, f.g, f/g, fog ve gof fonksiyonlarının belirli bir noktadaki veya sonsuzdaki limitlerini bulmayı gerektiren problemlerde değerlendirilir. Öğrencilere fonksiyonların limit özelliklerini yorumlamaya ve belirli bir noktadaki veya sonsuzdaki limitini bulmaya ilişkin açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir (D16.3).

MAT.12.2.3
Fonksiyonlarda dört işlem özelliklerinden elde edilen limitin bölüm kuralı f/g fonksiyonlarında incelenir. Buradaki g fonksiyonunun belirli bir x = a (a∈ℝ) noktasındaki limitinin sıfır olduğu durumların nasıl yorumlanabileceğine ilişkin sınıf içi tartışma yapılır. Bu tartışma yapılırken öğrencilerin birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve birbirleriyle etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1, D14.1). Öncelikle f fonksiyonunun x = a noktasındaki limit değerinin sıfırdan farklı bir gerçek sayı olduğu durumlar incelenir. Bu durumda f/g fonksiyonunun sonsuzdaki davranışı önceki bilgilerden yararlanılarak yorumlanır. Burada öncelikle tanımsızlık ve belirsizlik kavramları incelenir. Belirsizlik kavramıyla tanımsızlık kavramı arasındaki farklılık, limit bağlamında ele alınır.

Uygun koşullarda tanımlı f/g rasyonel fonksiyonlarının grafik ve tablo temsilleri incelenerek belirsiz olduğu noktalar belirlenir. Öğrenciler, grafiğini çizemedikleri fonksiyonlar olursa matematik yazılımları yardımıyla da grafik temsilleri inceleyebilir (MAB5). x = a noktasındaki limiti sıfıra eşit olan f ve g fonksiyonlarından elde edilen f/g fonksiyonunun x = a noktasındaki limitinin 0/0 belirsizliği oluşturduğu kabul edilir. Bu noktada f ve g fonksiyonlarının polinom fonksiyon, karekök fonksiyonu ve rasyonel fonksiyon olmasına dikkat edilir. f ve g fonksiyonlarının trigonometrik, üstel veya logaritmik fonksiyon olduğu durumlar incelenmez. İncelenen fonksiyonun cebirsel ifadesi, çarpanlara ayırma kuralları kullanılarak belirsizlik durumu ortadan kaldırılacak şekilde dönüştürülür. Dönüşümle beraber yeni fonksiyonun x = a noktasındaki limit değeri elde edilir (MAB2). Böylece belirsizliğin giderilebilmesi için farklı bir çözüm üretilmiş olur. Dönüştürülen yeni fonksiyon ile başlangıç fonksiyonunun grafikleri karşılaştırılır. Bu şekilde fonksiyonların x = a noktasındaki limit değerlerinin değişmediği vurgulanır. Limitteki 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemleriyle en hızlı ve doğru şekilde çözülebilmesini içeren, iş birliği ve grup içi çalışma gerektiren etkinlikler düzenlenebilir (SDB2.2, D4.2). Öğrencilere belirli bir x = a noktasındaki limiti 0/0 belirsizliğine sahip fonksiyonların gerçek yaşam problemlerinde kullanımına yönelik araştırma ödevi verilebilir.

MAT.12.2.4
Limitin tarihî gelişiminden kısaca söz edilerek Salih Zeki'nin Âsâr-ı Bâkıye ve Kâmûs-ı Riyâziyyât adlı eserlerindeki limit ve süreklilik ile ilgili çalışmalarından bahsedilir. Buradaki çalışmalardan hareketle limit ve süreklilik arasındaki ilişkiye dair sınıf içi tartışma yapılır. Cebirsel temsili verilen fonksiyonların tablo ve grafik temsili incelenir. x = a (a∈ℝ) noktasının fonksiyonun tanım aralığı içerisinde olmasına dikkat edilerek bu fonksiyonların noktadaki limiti ve değeri karşılaştırılır. Bu karşılaştırma neticesinde limit değerinin o noktadaki fonksiyon değerine eşit olmadığı durumlarda fonksiyonların grafik temsilinin x = a noktasında sürekli olmadığı yorumu yapılır. Böylece f fonksiyonunun x = a noktasındaki sürekliliğinin cebirsel ifadesi olarak verilir (MAB3). Bu cebirsel ifadeden hareketle fonksiyonların belirli bir x = a noktasında sürekli olabilmesi için o noktadaki limit değeriyle fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerektiği ifade edilir. Referans fonksiyonlar, polinom ve rasyonel fonksiyonlar incelenerek bu fonksiyonların tanımlı olduğu aralıklardaki sürekliliği yorumlanır. Öğrencilere f+g, f-g, f.g, f/g, f o g ve g o f fonksiyonlarının sürekliliğinin incelenmesine yönelik bir performans görevi verilebilir.

(*) Uygun koşullarda f(x) = sin( π/x ) şeklindeki gibi tanımlı salınım durumu içeren fonksiyonların grafikleri, matematik yazılım programları kullanılarak çizilir. Fonksiyonun grafiğinin salınım yaptığı bölge incelenerek limit ve sürekliliğe ilişkin sınıf içi tartışma yapılır. Örneğin uygun koşullarda f(x) = sin( π/x ) şeklinde tanımlı fonksiyonun x = 0 noktasında limitinin olup olmadığı tartışılabilir. Gerçek sayıların sıralama ve tamlık özelliklerinin limit alma işlemi için önemi üzerine araştırma ödevi verilebilir. (*) Sıkıştırma teoreminin ispatı yapılır. Bu teoremin kullanıldığı sorular çözülür. Ara değer teoremi, Bolzano (Bulzano) teoremi ve uç değer teoremleri hakkında değerlendirmeler yapılarak bu teoremlere ilişkin açık uçlu sorular çözülür. 0/0 belirsizliği içeren limitlerde trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonlarla işlem yapılır. fonksiyonunun x = 0 noktasındaki limitinin 1 olduğu, sıkıştırma teoremi kullanılarak ispatlanır. Buradan hareketle uygun koşullarda (k, m∈ℝ, m ≠ 0), ve şeklinde tanımlı fonksiyonların x = 0 noktasındaki limitlerinin k/m olduğu gösterilir. (*) 0/0 belirsizliğinin yanı sıra ∞/∞, ∞-∞, belirsizlikleri limit alma kuralları yorumlanarak çözülür. Euler sayısının (e) elde edilmesini sağlayan fonksiyonunun sonsuzdaki davranışı incelenir. (*) Weierstrass'ın limit tanımı (epsilon-delta tanımı) ile ilgili araştırma ödevi verilebilir. (*) Uygun koşullarda f(x) = tanx, f(x) = cotx, f(x) = secx ve f(x) = cosecx şeklinde tanımlı fonksiyonların sürekli olduğu aralıkları bulmaya yönelik çalışmalar yapılır.

Limitin kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri (hız sınırı gibi), öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır.

Öğrencilere bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini cebirsel olarak ifade edebilmeye ve grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır.

Limit ve süreklilik ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam araçları (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur. Limit ve süreklilik konusunda öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim

D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D13. Sağlıklı Yaşam, D14. Saygı, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin gerçek sayılarda tanımlı fonksiyon kavramını tanımlayabildikleri; fonksiyonların parçalı gösterimlerini bildikleri, fonksiyonlarda işlemler yapabildikleri; karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonlar ile polinom fonksiyonların matematiksel temsillerini kullanabildikleri; bu fonksiyonların cebirsel gösterimindeki katsayılar ile nitel özellikleri arasında ilişki kurabildikleri; doğrunun eğimini bildikleri; doğru denklemi oluşturabildikleri; bir açının tanjant değerini doğrunun eğimiyle ilişkilendirebildikleri; fonksiyon grafiklerinde kesen doğru ve teğet doğrusu kavramlarını yorumlayabildikleri; cebirsel özdeşlikleri ve tamkareye tamamlamayı kullanarak çarpanlara ayırma yapabildikleri; birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri ve eşitsizlikleri çözebildikleri; limitte 0/0 belirsizliğini değerlendirebildikleri ve süreklilik kavramını yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere 9, 10, 11 ve 12. sınıfta öğrendikleri referans fonksiyonlar, parçalı gösterimli fonksiyonlar ve polinom fonksiyonlar hakkındaki ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için hazır bulunuşluk testi yapılabilir. Fonksiyonların grafik temsili, fonksiyonların nitel özellikleri ve analitik geometri bilgilerini ölçmeye yönelik açık uçlu sorular sorulabilir. Birinci ve ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri içeren problemlerde kullanılan farklı çözüm stratejilerinin bilgisini ölçebilmek için kısa cevaplı sorular sorulabilir. Fonksiyonlarda limit ve süreklilik konularına ilişkin ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için hazır bulunuşluk testi yapılabilir.

Doğrusal fonksiyonların eğimi, fonksiyonlarda değişim oranı kavramı ile ilişkilendirilir. Gerçek yaşamda bir hareketlinin ortalama hızının ne anlama geldiği sorularak değişim oranı kavramı somutlaştırılır.

Ayrıca bir hareketlinin t saniyede metre cinsinden aldığı yolu veren bir fonksiyonun grafik temsili çizilerek öğrencilerden bu fonksiyonda belirli saniyeler arasındaki ortalama hızın tespit edilmesi istenir. Bir kentin nüfusunun artış hızı, bir bankadaki mevduatın büyüme hızı, kimyada hacmi küçülen bir gazın basıncının artış hızı gibi ifadelerin ne anlama geldiği ile ilgili tartışmalar yapılır. Limitte öğrenilen ve türevde etkin bir şekilde kullanılacak olan 0/0 belirsizliği ve süreklilik ile ilgili soruların çözülebilmesine yönelik grup çalışması yapılabilir. Limit ve süreklilik konusunda öğrendikleriyle ilgili geri bildirimler verilerek öğrencilerin kendi seviyelerini, eksikliklerini ve ihtiyaçlarını belirlemesi sağlanır. Öğrencilerle bire bir görüşmeler yapılarak veya öğrencilerin yansıtıcı günlükler tutması istenerek limit konusu ile ilgili yaşadıkları duyguları fark etmeleri ve olumsuz duygularını gidermeleri desteklenebilir.

MAT.12.2.5
Gerçek yaşam durumu içeren problemler fonksiyonlarla temsil edilerek fonksiyonların nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri belirlenir. Ardından fonksiyonun nitel özelliklerinin problem verilerine uygun aralığındaki veya noktasındaki durumuna odaklanılarak ortalama değişim, anlık değişim, eğim, kesen doğrusu, teğet doğrusu gibi kavramlar belirlenir. Örneğin bir şirketin yıllık kazancı, önceki yıl ile içinde bulunulan yıl karşılaştırılarak elde edilebilir ve ardından bu şirketin aylık ortalama kazancının ne kadar olduğu sorgulanır (D17.3). Yıllık kazançtaki değişimin 12 aya bölünmesi ile aylık ortalama kazanç elde edilir (OB3). Bu tarz gerçek yaşam örnekleri üzerinden ortalama değişim oranı kavramı cebirsel olarak ifade edilir. Bir şirketin gelirinin zamana bağlı olarak verildiği bir grafik temsili üzerinden 12 ay önceki gelirini temsil eden nokta ve mevcut gelirini temsil eden nokta bir kesen doğrusu ile birleştirilir. Bu kesen doğrusunun eğimi aylık ortalama kazanç ile ilişkilendirilir. Benzer örnekler cebirsel ifadesi verilen fonksiyonlarda incelenir. Örneğin bir şehrin belirli bir gündeki sıcaklık değişimi, zamana bağlı bir fonksiyonla modellenerek verilebilir. Fonksiyon incelenerek belirli bir zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişimi, ortalama değişim oranının cebirsel ifadesi kullanılarak bulunur (MAB2).

Bir hareketlinin t zamanında aldığı yolu modelleyen fonksiyonlar öncelikle ortalama hızı bulmak için incelenir. Bu modellemelerin grafik temsillerinde herhangi iki zaman aralığındaki noktaları birbirine bağlayan kesen doğrusunun eğimi yorumlanır. Buradan bir hareketlinin belirli bir saniyedeki anlık hızının nasıl bulunabileceği tartışılır. Grafik temsiller incelenerek kesen doğrusuna benzer bir şekilde fonksiyonun sadece tek bir noktasından geçen teğet doğrusu çizilir. Grafik temsil üzerindeki iki noktayı birbirine bağlayan kesen doğruları teğet doğrusuna yaklaştırıldıkça bu doğruların eğim değerlerinin birbirine çok yaklaştığı tablo veya matematik yazılımları kullanılarak gösterilir (MAB3, MAB5). Böylelikle öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerinin geliştirilmesi desteklenir (OB2). Benzer şekilde öğrencilerden fonksiyonun sürekli olduğu bir noktadan çizilebilen ve eğimi gerçek sayı olan tek teğet doğrusu olması durumunda bu doğrunun eğiminin fonksiyonun o noktadaki anlık değişim oranını verdiğini grafik üzerinden limit kullanmadan keşfetmeleri beklenir. Bir hareketlinin t zamanındaki konumunu veren bir fonksiyon modellemesi üzerinden anlık değişim oranı ortalama değişim oranı kullanılarak “konumdaki çok küçük değişim/zamandaki çok küçük değişim” şeklinde sözel temsille ifade edilir. Bu konum fonksiyonunun t=a (a∈ℝ) noktasındaki anlık değişimi, bu nokta ve bu noktaya çok yakın bir nokta arasındaki zaman değişiminin limitinin sıfıra gitmesi durumunda şeklinde gösterilir. f(x) = y olmak üzere dy/dx = f'(x) eşitliği kullanılarak elde edilen dy = f'(x) dx diferansiyel olarak tanımlanır (MAB3). Grafik temsili üzerinden anlık değişim oranı kullanılarak diferansiyelin geometrik yorumu yapılır.

Öğrencilerin anlık ve ortalama değişimi anlamlandırmak için gerçek yaşam durumları üzerinde çalışmaları sağlanır. Örneğin bir öğrencinin düzenli spor yapmaya başladıktan t hafta sonra verdiği kiloyu modelleyen uygun koşullarda f(t) şeklinde tanımlı fonksiyon incelenebilir (D13.2). f ve f' fonksiyonlarının keyfî noktalardaki değerleri verilir. Öğrencilerin anlık ve ortalama değişimi işe koşarak bu verileri fonksiyonun grafik temsilinde yorumlaması istenir. Bir fonksiyonun grafiğine sürekli olduğu bir iç noktasının sağından ve solundan yaklaşıldığında eğimi bir gerçek sayı olan tek bir teğet doğrusu çizilmesi durumunda bu eğim değerinin fonksiyonun o noktadaki anlık değişimine eşit olduğunu göstermek için limit kavramı kullanılır. Fonksiyonun herhangi bir noktasındaki türevi, şeklinde ifade edilir (MAB3). Ayrıca elde edilen limitte h = x-a dönüşümü yapılarak x = a noktası için şeklinde türevin diğer bir limit tanımı elde edilir (E3.7). Bu limitlerin sağdan ve soldan yaklaşımları, sağdan türev ve soldan türev olarak ifade edilir. Özellikle cebirsel ifadesi verilen parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türevlenebilirlik incelenirken o noktadaki sağdan türev ile soldan türevin eşit olması gerektiği vurgulanır (E3.6). Öğrencilere parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türev incelemeyi gerektiren sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir. Fonksiyonun ikinci türevi ise veya f''(x) şeklinde gösterilir.

Uygun koşullarda f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ), ve f(x) = 1/x şeklinde tanımlı fonksiyonların herhangi bir noktasındaki anlık değişim oranı tablo, grafik ve cebirsel temsiller kullanılarak incelenir. Örneğin f(x) = x² fonksiyonunun tablo veya grafik temsilinde (1,1) noktasına çok yakın noktalar alınarak bu fonksiyonun x = 1 noktasındaki anlık değişim oranı tahmin edilir. Fonksiyonun cebirsel temsilinin işe koşulduğu türevin limit tanımı kullanılarak sonucu elde edilir ve yapılan tahminle bu sonuç karşılaştırılır. Bu şekilde polinom, köklü ve rasyonel fonksiyonların türev alma kurallarına yönelik varsayımlar geliştirilir. Bu varsayımlardan hareketle farklı fonksiyonların türev alma kurallarına ilişkin genellemeler elde edilir. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermeler fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bağlamlarında türevi kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerinde değerlendirilir. Örneğin biyolojide kandaki ilaç konsantrasyonu, bir canlı popülasyonunun artış veya azalış hızı; ekonomide bankada biriktirilen tasarruflar, bir şirketin kârı; coğrafyada bir ülke nüfusunun veya petrol miktarının artış veya azalış hızı; kimyada kimyasal reaksiyon, gaz basıncı ve fizikte anlık hız, anlık ivme gibi bağlamlarda önermeler etkin bir şekilde kullanılır (OB3, D5.2, D13.4). Yine fizikte, ısıtılarak genleşen küre şeklindeki bir maddenin yarıçapının, yüzey alanının veya hacminin zamana bağlı değişim oranı bu önermeler kullanılarak yorumlanır (MAB2). Bu şekilde türevin fen bilimleri ve sosyal bilimler için önemi uygulamalı bir şekilde gösterilir ve önemli bir ihtiyacı karşıladığından bahsedilir (SDB1.2). Öğrencilere türevin kullanıldığı farklı disiplinlerin incelenmesini içeren araştırma ödevi ve gerçek yaşam problemlerini türevi kullanarak çözmeye ilişkin çalışma kâğıdı verilebilir (D16.3). Ayrıca türev kavramının tarihî gelişimi incelenerek fizik ve matematik alanında çalışan Leibniz (Laybnıtz) ve Newton gibi bilim insanlarının türev ile ilgili çalışmalarından bahsedilir.

Fonksiyonların herhangi bir noktadaki türevini almaya ilişkin önermeler, türevin limit tanımı kullanılarak ispatlanır. Örneğin f karekök referans fonksiyonunun herhangi bir x = a ( a≠0) noktasındaki türevinin olduğu gösterilir. Buradan hareketle ise önermesi ispatlanır. Ayrıca her n∈ℚ için f(x)=xⁿ ise kuralı kullanılarak sıfırdan farklı gerçek sayılarda f(x) = 1/x şeklinde tanımlı fonksiyonun belirli bir noktadaki türev fonksiyonu elde edilir. Yapılan ispatlar, farklı önermelerin ispatı için kullanışlılığı açısından değerlendirilir.

MAT.12.2.6
Türevin limite dayalı cebirsel tanımı yorumlanarak fonksiyonların hangi durumlarda türevlenebilir olmayacağına yönelik sınıf içi tartışma yapılır. Bu tartışma yapılırken öğrencilerden birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1, D14.1). Referans fonksiyonlar, polinom fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan elde edilen parçalı gösterimli fonksiyonların grafik temsilleri incelenir. Bu grafik temsillerden hareketle fonksiyonların hangi durumlarda türevlenebilir olamayacağına ilişkin varsayımlar geliştirilir. Türevin limit tanımından hareketle bu limitin var olabilmesi için fonksiyonun herhangi bir x = a noktasında soldan türev ile sağdan türevinin eşit olması gerektiği ifade edilir. Parçalı gösterimli fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek süreksizlik noktalarında soldan ve sağdan türevin eşit olamayacağına ilişkin varsayım elde edilir. Ayrıca gerçek sayılarda ve şeklinde tanımlı fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek bu fonksiyonların x = 0 noktasında sürekli olmasına rağmen bu noktada türevli olmayacağına ilişkin akıl yürütülür (OB4). Böylece parçalı gösterimli fonksiyon ve mutlak değerli fonksiyonların sürekli olduğu hâlde türevsiz olabileceği noktalara dair varsayımlar geliştirilir. Bu varsayımlardan hareketle farklı fonksiyonların türevlenemeyen noktalarına ilişkin genellemeler elde edilir. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermelerden yararlanılarak fonksiyonlarda türev-süreklilik ilişkisi ortaya konur. Ayrıca cebirsel temsili verilen parçalı gösterimli fonksiyonlarda, kritik noktada türev incelenirken bu önermeler kullanılır. Öğrencilere parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türev incelemeyi gerektiren sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT 12.2.7
f ve g polinom fonksiyonlarının toplam ve fark işlemlerinde türev almaya yönelik olarak cebirsel temsilleri incelenir. Örneğin gerçek sayılarda f(x)=x² ve g(x)=x şeklinde tanımlı fonksiyonlar kullanılarak elde edilen (f+g)(x)=x²+x ve (f−g)(x)=x²−x fonksiyonlarının türevi, türevin limit tanımıyla elde edilir. Buradan hareketle fonksiyonların toplam ve fark işlemlerinde türev alma kuralları ile ilgili varsayımlar geliştirilir. Çarpma, bölme ve bileşke işlemlerinde ise f ve g fonksiyonlarının yapısının bu işlemler sonucunda oluşan yeni fonksiyonda değiştiği matematik yazılımlarından yararlanılarak gözlemlenir (MAB5). Böylelikle öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerinin geliştirilmesi desteklenir (OB2). Aynı zamanda gerçek sayılarda f(x) = x +1, g(x) = x şeklinde tanımlı fonksiyonlar ile elde edilen f/g fonksiyonunun türevine ilişkin olarak f ve g fonksiyonlarına bağlı yeni bir kural elde edilmesi gerekliliği ifade edilir. Bileşke fonksiyonların referans fonksiyonlardan türetilebileceği fikri ile bu fonksiyonların türev alma kuralı örnekler üzerinden incelenir. Örneğin gerçek sayılarda f(x)=(3x+1)² şeklinde tanımlı fonksiyon; h(x) = 3x+1 ve g(x) = x² fonksiyonlarının bileşkesi şeklinde yazılır. Türevin limit tanımı kullanılarak bu fonksiyonun türev alma kuralı belirlenir ve bileşke fonksiyonların türevine ilişkin varsayımlar elde edilir. Bu varsayımlardan hareketle fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevine ilişkin genellemeler elde edilir. Bileşke fonksiyonun türevinde iki fonksiyonun bileşkesi ile sınırlı kalınır. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermeler fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bağlamlarında türevi kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerinde değerlendirilir. Örneğin t saatte bir evin içerisinde iki ayrı musluktan akan su miktarları f ve g fonksiyonları ile modellenebilir. Belirli bir saatte bu musluklardan akan toplam su miktarındaki değişim, toplam fonksiyonunun türevi yardımıyla bulunur. Buna göre hangi saatlerde en çok su tüketimi olduğu belirlenir (D17.2). Ayrıca bileşke fonksiyonun türev alma kuralı kullanılarak uygun koşullarda g(x) = [f(x)]ⁿ şeklinde tanımlı fonksiyonların türevi ile ilgili önermelere ulaşılır. Bu şekilde farklı görünen durumlara ilişkin bileşke fonksiyonun türev alma kuralı kullanılarak farklı çözümler üretilir. Öğrencilere fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevini kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerine ilişkin çalışma kâğıdı verilebilir.

Türevin limit tanımı kullanılarak fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevi cebirsel olarak farklı yöntemlerle ispatlanır. Bu ispatlar yapılırken öğrencilerin ispatlara ilişkin bilimsel ve özgün yaklaşımlar sunmaları beklenir (E3.11, D3.3). Yapılan ispatların kullanışlılığı değerlendirilir. Öğrencilere bu çıktıya yönelik performans görevi verilebilir.

(*) Trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi, limit tanımından yararlanılarak bulunur. Yüksek mertebeden türev alma yaklaşımları incelenir ve bunlara ilişkin n. dereceden türevi veren matematiksel modellemeler yapılır. Trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonlar kullanılarak yüksek mertebeden türeve ilişkin örüntüler ve genellemeler elde edilir. Bir fonksiyonun kendisiyle ters fonksiyonu arasında türeve dayalı ilişkiler kurulur. Kapalı fonksiyonların türev alma kuralı, ispatı yapılarak incelenir. Ters trigonometrik fonksiyonların türev alma kuralını bulmaya yönelik cebirsel ispatlar yapılır. Fonksiyonların çarpım ve bölümünün türevine yönelik ispatlar e tabanındaki logaritmik fonksiyon kullanılarak elde edilir. Diferansiyel kavramı kullanılarak ters türeve yönelik incelemeler yapılır. Basit düzeydeki türevli denklemler ters türev fikri kullanılarak çözülür.

(*) Türev kullanılarak yapılabilecek STEM uygulamalarına daha fazla yer verilir. Örneğin bir bakteri popülasyonu fonksiyonlar ile modellenerek bu popülasyonun belirli bir t anındaki büyüme hızı belirlenebilir.

Anlık değişim oranı kavramının doğru bir şekilde anlaşılabilmesi için ortalama değişim ile ilgili gerektiği kadar gerçek yaşam durumu örneği matematiksel yazılımlar kullanılarak incelenir.

Türevin kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri (traktörün anlık hızı, kasabadaki nüfusun büyüme hızı gibi) öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya ilgi ve motivasyonları artırılır.

Anlık değişim oranı ve türev kavramının temsil edilebileceği somut materyaller (animasyonlar) kullanılır.

Öğrencilere bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini cebirsel olarak ifade edebilmeye, grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır.

Türev kavramı ve türev alma kuralları ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur. Türev kavramı ve türev alma kuralları konusunda öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D1. Adalet, D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin ortalama değişim, anlık değişim kavramlarını bildiği; fonksiyonun belirli bir noktasındaki türev değeri ile fonksiyon grafiğine bu noktada çizilen teğet doğrusunun eğimini ilişkilendirebildiği; temel türev alma kurallarını bildiği; bu kuralları kullanarak bir fonksiyonun belirli bir noktasındaki türev değerini bulabildiği; bir fonksiyonun süreksiz veya türevsiz olduğu noktalarda türevini farklı matematiksel temsiller kullanarak inceleyebildiği; yaptığı incelemeler sonucunda türevsizliğe sebep olan durumları açıklayabildiği; iki fonksiyonun toplamının, farkının, çarpımının, bölümünün veya bileşkesinin türevini alabildiği; birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizlikleri çözebildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilere birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizlikler içeren sorulardan oluşan bir test sunulabilir. Türev kavramı ve bu kavramın gerçek yaşam durumlarındaki anlamı hakkında ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için açık uçlu ya da kısa cevaplı sorulardan oluşan hazır bulunuşluk testi yapılır. Öğrencilerin temel türev alma kurallarına ilişkin öğrenme eksiklikleri, açık uçlu sorular sorularak belirlenebilir.

Bir fonksiyonun limitinin olmadığı ve süreksiz olduğu noktalarda veya köşe noktalarında türevini inceleyebilme durumları açık uçlu sorularla değerlendirilebilir. İki fonksiyonun toplamının, farkının, çarpımının, bölümünün veya bileşkesinin türevini almaya dair becerilerinin, kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla açık uçlu ya da kısa cevaplı sorulardan oluşan hazır bulunuşluk testi yapılabilir.

Doğrusal fonksiyonların cebirsel ve grafik temsillerinden yararlanılarak öğrencilerin bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin işaretine ilişkin çıkarımda bulunmaları sağlanır. Bu kapsamda doğrunun eğim açısının dar veya geniş olması durumu veya doğrunun eğim değerinin işareti ile bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin işareti ilişkilendirilir. Özel olarak gerçek sayılarda f(x) = k şeklinde tanımlı doğrunun eğim değerinin sıfır olması ile bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türev değerinin sıfır olması ilişkilendirilir. Böylece öğrencilerin merak duygusu harekete geçirilir. Türev konusu ile ilgili ön değerlendirme sürecinden elde edilen bilişsel yetkinlikler ile yansıtıcı günlüklerden elde edilen öğrencinin yaşadığı zorluklar ve motivasyon sorunları gibi duyuşsal durumlar birlikte değerlendirilir. Öğrencilerin yaşadığı duyguları fark etmesi sağlanarak türev konusunda olumsuz tutuma sahip öğrencilerle bireysel görüşmeler gerçekleştirilir.

MAT.12.2.8
Dik koordinat sisteminde verilen keyfî bir fonksiyon grafiği üzerinden fonksiyonun nitel özelliklerine ilişkin sınıf içi tartışma yapılır. Bu tartışma yapılırken öğrencilerin birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve birbirleriyle etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1). Bu kapsamda öncelikle grafiği çizilen fonksiyonun nitel özellikleri belirlenir. Bu aşamada fonksiyonların yerel ekstremum noktaları ile ilgili bilgilendirme yapılır. Sonrasında grafiğe teğet doğruları çizilir ve öğrencilerden çizilen teğet doğrularının eğimi ile ilgili varsayımda bulunmaları beklenir. Bu kapsamda fonksiyon grafiğine artan veya azalan olduğu farklı aralıklarda teğet doğruları çizilir. Ardından öğrencilerin fonksiyonun artanlığı veya azalanlığı ile teğet doğrularının eğim değerleri arasındaki ilişkilere dair varsayımlarda bulunmaları sağlanır (E3.6, E3.7). Örneğin öğrencilerden fonksiyonun azalan olduğu aralıkta veya fonksiyonun yerel ekstremum noktasında çizilecek teğet doğrusunun eğiminin işaretine dair varsayımlar geliştirmeleri beklenebilir.

Polinom fonksiyonların nitel özellikleri ile bunların türev fonksiyonlarının cebirsel temsilleri arasındaki ilişkilere dair genellemeler yapılır. Örneğin olmak üzere gerçek sayılarda f(x)=k.(x−a)² şeklinde tanımlı polinom fonksiyonun türevi alınarak f'(x)=2.k.(x-a) fonksiyonu elde edilebilir. Türev fonksiyonundan hareketle x>a için f ' değerlerinin pozitif olacağı ve buna bağlı olarak f fonksiyonunun [a, ∞) nda artan olacağına dair genelleme yapılır. Burada istisnai durum olarak türev fonksiyonunun birbirine eşit sıfırlarının olması durumu da (gerçek sayılarda f(x) = x³ şeklinde tanımlı fonksiyonun türev fonksiyonu gibi) incelenir. Genellemeler, polinom fonksiyonun grafik temsilleri ile ilişkilendirilerek varsayımlar ile karşılaştırılır.

Öğrencilerin polinom fonksiyonların nitel özelliklerine dair elde ettikleri genellemelerden hareketle önermeler sunması sağlanır. Örneğin x ∈ (a, b) olduğunda f polinom fonksiyonu için f'(x)<0 oluyor ise g(x)=-f(x)+3 fonksiyonunun (a, b) nda artanlığına veya azalanlığına dair önerme sunması beklenir (MAB3).

Öğrencilerin türev kavramı ile ilgili edindiği bilgileri kullanarak Rolle (Rol) ve ortalama değer teoremlerine dair önermeler sunması beklenir. Bu süreçte [a, b] nın her noktasında sürekli olan ve (a, b) nın her noktasında türevlenebilen, dik koordinat sisteminde verilen keyfî bir f fonksiyon grafiği çizilir. Sonrasında A(a, f(a)) ve B(b, f(b)) noktalarından geçen, eğimi m olan doğru çizilir. Çizilen grafik yardımıyla öğrencilerin c ∈ [a, b] olmak üzere f'(c)=m eşitliğini sağlayan en az bir gerçek sayının bulunacağına dair önerme sunmaları (ortalama değer teoremi) sağlanır. Ayrıca aynı tanım aralığında, süreklilik ve türevlenebilirlik özelliklerine sahip fonksiyonda f(a)=f(b) eşitliğinin sağlanması durumunda öğrencilerden d ∈ [a, b] olmak üzere f '(d) = 0 olacak şekilde en az bir d gerçek sayısının bulunacağına (Rolle teoremi) dair önerme sunmaları beklenir. Önermeler, Rolle ve ortalama değer teoremlerini kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemleri ve açık uçlu sorular ile birlikte polinom fonksiyonların grafik temsilleri üzerinden öğrencilerin çalışkanlıklarını ve üretkenliklerini destekleyecek şekilde değerlendirilir (D3.3). Örneğin ortalama hız tespitinin yapıldığı otoyolda bir aracın hız-zaman fonksiyonunun grafiği modellenebilir. Grafik temsilinden yararlanılarak aracın hareketi boyunca hız göstergesinin belirli bir değeri kesin olarak gösterip göstermediği, seçilen zaman aralığında belirli bir hızı en az kaç defa göstermiş olabileceği gibi sorulara yer verilir. Bu fikirden yararlanılarak otoyollarda hız tespiti yapılır. Bu tür problemlerin en hızlı ve doğru şekilde çözülebilmesini içeren, iş birliği ve grup içi çalışma gerektiren etkinlikler düzenlenebilir (SDB2.2).

Ayrıca cebirsel temsili verilen en fazla dördüncü dereceden polinom fonksiyonların grafik temsilini elde etmek için fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar türev kullanılarak belirlenir (E3.11). Bu noktada çizilen grafik temsillerinin doğruluğu, öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerini geliştirmek için matematik yazılımları ile kontrol edilir (OB2, MAB5). Öğrencilere aynı dik koordinat sisteminde çizilen iki fonksiyonun grafiğini incelemeyi içeren çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.12.2.9
Türev bilgisini işe koşmayı gerektiren (bir işletmenin maksimum kazancını hesaplama, geometrik cisimlerin yüzey alanları veya hacimlerindeki değişimi belirleme gibi) gerçek yaşam durumları incelenirken türev fonksiyonu, artan-azalan aralık, eşitsizlik, maksimum-minimum nokta, maksimum-minimum değer, yerel ekstremum nokta gibi bileşenler belirlenir. Bu bileşenler arasındaki ilişkiler belirlenerek gerçek yaşam durumlarının fonksiyon olarak modellenmesi sağlanır. Optimizasyon problemlerinde fonksiyonun grafik temsili incelenerek teğet-eğim ilişkisinden hareketle türev fonksiyonu elde edilir. Elde edilen türev fonksiyonunun tablo temsiliyle hangi aralıkta hangi işareti aldığı belirlenir. Türevin geometrik yorumundan hareketle işaretler arası geçiş noktalarının, fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını verdiği ifade edilir. Böylelikle maksimum-minimum problemlerinin çözümüne ilişkin strateji geliştirilir. Çözüm stratejisini elde ettiği türev fonksiyonu ile birlikte kullanarak öğrencilerin maksimum-minimum probleminin çözümüne ulaşmaları sağlanır. Küre şeklindeki bir cismin ısıtılması sonucunda yarıçapındaki değişime bağlı olarak hacminde veya yüzey alanındaki değişimin belirlenmesi gibi değişimlerin incelendiği problemlerde verilen ve istenen değişim oranları/hızları veya türev fonksiyonları belirlenir. Türev kavramı bilgisi ve türevin özelliklerinden yararlanılarak istenen değişim oranı/hızı veya türev fonksiyonunun bulunması sağlanır. Maksimum-minimum değer hesaplama, değişim oranı/hızı belirleme gibi gerçek yaşam problemleri mümkün olduğunca geniş bir çerçevede ele alınır. Bu bağlamda üretim-tüketim, kâr-zarar, alan/hacim, alandaki/hacimdeki değişim hızı hesabı gibi problemler incelenir (OB3). Örneğin belirli bir hacme sahip dikdörtgenler prizması şeklinde bir kolinin mümkün olabilecek en küçük yüzey alanı hesaplanabilir. Böylelikle ambalaj kullanımı konusunda öğrencilerin daha duyarlı olmaları sağlanır ve öğrencilerde çevreyi koruma bilinci geliştirilir (D5.2). Bir ürünün fiyatındaki artış ile o ürünü satın almak isteyen müşteri sayısındaki ilişki incelenerek bir gelir fonksiyonu modellenebilir. Gelir fonksiyonunda maksimum gelirin elde edilmesini sağlayan fiyat düzenlemesi türev yardımıyla belirlenir (OB3). Mühendislikte, köy yollarının otoyola bağlanmasında en kısa sürede ve en hızlı şekilde ulaşımın sağlanabilmesi için bir kente varış süresi fonksiyonlarla modellenebilir. Bu sayede yolun nereden geçmesi gerektiği türev yardımı ile bulunur ve toplumsal bir menfaate veya liyakate vurgu yapılır (D1.2, D16.2).

Ayrıca belirli bir çevre uzunluğuna sahip dikdörtgen şeklindeki evinin bahçesinde sebze yetiştirmek isteyen birinin bahçesinin alanının en fazla kaç olabileceği ve buna göre bu bahçeye belirli sıra ve aralıklarla en fazla ne kadar sebze ekilebileceği, belirli bir hacme sahip silindir biçimdeki kabın en küçük yüzey alanına sahip olabilmesi için yarıçapının ne olacağı gibi gerçek yaşam durumları incelenir (OB3, D17.3). Öğrencilere gerçek yaşam problemlerinde matematiksel modelleme yapabilme becerilerini geliştirmelerine katkı sağlayacak yerel ve mutlak ekstremum değerlerini hesaplamayı gerektiren performans görevi verilebilir.

Türev fonksiyonu üzerinden geliştirilen çözüm stratejisinin doğruluğu, türevi alınan fonksiyonun farklı temsilleri üzerinden geliştirilen çözüm stratejileri kullanılarak kontrol edilir. Örneğin gerçek sayılarda tanımlı ikinci dereceden bir f fonksiyonu ile modellenen ve bu fonksiyonun alabileceği en küçük değeri belirlemeyi gerektiren bir gerçek yaşam probleminde türev fonksiyonu üzerinden belirlenen çözüm stratejisi, f fonksiyonunun cebirsel temsili tamkare forma dönüştürülerek bulunan en küçük değer ile kontrol edilir. Bu şekilde problemin çözümüne yönelik farklı çözüm yolları değerlendirilir. Bu aşamada öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerini geliştirmek için matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2).

Şerefeddin Tusi'nin polinom fonksiyonların yerel ekstremum değerlerini bulma bağlamında yapmış olduğu çalışmalara yönelik araştırma ödevi verilebilir. Öğrencilerden verilen araştırma ödevini titizlikle yerine getirmeleri beklenir (D16.3).

Türev fonksiyonu üzerinden maksimum-minimum değeri belirleme stratejisinin her zaman uygulanabilen bir strateji olmadığı örnek problem durumları üzerinden gösterilir. Örneğin bir parçalı gösterimli fonksiyonun mutlak maksimum noktası için türevsiz olduğu bilinen bir problem incelenebilir. Bu fonksiyonun alabileceği en büyük değeri belirlemeyi gerektiren bir gerçek yaşam problemi üzerinden türev fonksiyonu ile çözümün elde edilemeyeceği görülür. Bu durumda fonksiyonun grafik temsili üzerinden çözüm stratejisi geliştirilir (OB4).

Problemlerin çözüm stratejileri gözden geçirilerek çözümde elde edilen fonksiyonların farklı temsilleri üzerinden bazı çıkarımlara ulaşılır. Örneğin belirli bir çevre uzunluğuna sahip dikdörtgensel bölgenin alanının alabileceği en büyük değerin bu bölgenin kenar uzunlukları birbirine eşit olduğunda elde edilebileceği çıkarımına ulaşılır. Benzer şekilde gerçek sayılarda y = f(x) şeklinde tanımlı fonksiyonun alabileceği en büyük değerin a olarak belirlendiği durumda fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin olacağı çıkarımına ulaşılır. Problemlerin çözümüne yönelik çıkarımlar; sözel, cebirsel ve grafiksel argümanlarla değerlendirilir. Örneğin karesel fonksiyon şeklinde modellenebilen gerçek yaşam durumlarında maksimum veya minimum değeri veren nokta ya da noktalar hakkında elde edilen cebirsel argümanlar sözel argümanlarla desteklenir. Benzer şekilde ısıtılarak genleşen bir nesnenin (örneğin küp veya küre) yüzey alanındaki (a) değişime bağlı olarak hacmindeki (v) değişim oranı dv/da şeklinde ifade edilir. v ve a niceliklerinin her biri aynı bir x bağımsız değişkeninin (örneğin küpün ayrıt veya kürenin yarıçap uzunluğu gibi) fonksiyonu olarak ifade edilir. Buna göre dv/da değişim oranı şeklinde ifade edilir.

Farklı disiplinlerde türevdeki maksimum-minimum değer, değişim oranı/hızı belirleme yaklaşımının kullanıldığı problemlere yönelik araştırma ödevi verilebilir. Öğrencilerden araştırma ödevini zamanında ve eksiksiz yerine getirmeleri beklenir (D16.3).

(*) Polinom fonksiyonların farklı nitel özelliklerinin bir arada kullanıldığı ve bunların türev fonksiyonlarının cebirsel temsilleri arasındaki ilişkilere dair genellemelere ulaşıldığı örneklere yer verilir. Örneğin gerçek sayılarda f(x) ve g(x) = f(x) + 2 şeklinde tanımlı üçüncü dereceden polinom fonksiyonlar için olmak üzere olması durumunda bu fonksiyonların başkatsayılarının işaretine dair genellemelere ulaşılabilir. İkinci türevin geometrik yorumu üzerine örnekler verilir ve konvekslik, konkavlık ve büküm noktaları incelenir. İşaret tablosu ile fonksiyonun grafiğinin çizilmesi çalışmaları yapılır ve matematik yazılımları ile doğrulanır. (*) Maksimum-minimum problemlerinin çözümü için türev kullanılmadan algoritma oluşturulması ve matematik yazılım programında çözümünün bulunması ile türev kullanarak yapılan çözümlerin karşılaştırılmasına yönelik görevler verilebilir.

(*) Ekonomide marjinal maliyet, marjinal gelir hesaplama; biyolojide bir canlının baskın ve çekinik genlerinin sıklığına göre o canlı türünün genetiğinde gelecekte meydana gelebilecek değişimleri (down sendromu, DMD kas hastalıkları gibi) yorumlama; (*) fizikte serbest düşüşteki bir cismin belirli bir andaki hızını, süratini veya ivmesini belirleme gibi farklı disiplinlerde karşılaşılabilen problemler farklı çözüm stratejileri kullanılarak çözülür.

(*) Problemler çözüldükten sonra farklı genellemelere ulaşılır. Örneğin Mendel’in (Mendel) melezleme yöntemine göre p∈(0,1) olmak üzere p bir kültürde bulunan bezelyelerden düzgün yüzeyli bezelye genlerinin sıklığını, 1-p ise buruşuk yüzeyli genlerin sıklığını vermektedir. Buna göre gelecek nesilde düzgün yüzeyli bezelye oranı, uygun koşullarda f(p)=2.p.(1-p) şeklinde tanımlı fonksiyon ile belirlenir. f’ fonksiyonunun grafiği yorumlanarak buruşuk bezelye oranının yüksek olduğu bir popülasyona az sayıda düzgün yüzeyli bezelye katılmasının sonraki nesiller için oluşturacağı etkinin, tam tersi duruma göre daha fazla olacağı genellemesine ulaşılır.

Bir fonksiyonun artanlığı veya azalanlığına, yerel ve mutlak ekstremum noktalarının neler olduğuna dair açıklamalar yapılırken gerçek yaşam örneklerinden yararlanılır.

Örneğin doğrusal bir yol üzerinde başlangıç noktasından hareket eden, sonrasında başlangıç noktasına tekrar geri dönen bir cismin hareketi; çizilen konum-zaman grafiği ile birlikte değerlendirilir. Bu aşamada cismin başlangıç noktasına uzaklığının hangi zaman diliminde giderek arttığı, cismin hangi anda başlangıç noktasına en uzak konumda olduğu gibi sorularla öğrencilerin çıkarımlara ulaşmaları desteklenir.

Bir fonksiyonun ve onun türev fonksiyonunun matematiksel temsillerine ve bunlar arasındaki ilişkilere dair çıkarımlar, ilk olarak ikinci dereceden polinom fonksiyon ve bunun türev fonksiyonu üzerinden yapılır. Değişim oranı/hızı hesaplanan problemlerde basit cebirsel işlemler yapmayı gerektirenler tercih edilir. Çıkarımlara veya ilişkilere dair genellemelerin yapılamadığı durumlarda sayısal örneklerden, tablo temsilinden yararlanılır. Elde edilen sayısal değerler, matematik yazılımları ile çizilen grafikler üzerinde eş zamanlı olarak gösterilir.

Öğrencilerden problemlerin çözüm stratejilerini değerlendirmeleri, çözümle ilgili genellemelere ulaşılamadığı durumlarda sayısal örnekleri kullanarak sınırlı genellemeler yapmaları istenir.

SDB1.3. Kendine Uyarlama (Öz Yansıtma), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D3. Çalışkanlık, D13. Sağlıklı Yaşam, D14. Saygı, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB8. Sürdürülebilirlik Okuryazarlığı

Öğrencilerin önceden çemberin uzunluğu ile çapı arasındaki ilişkilere yönelik çıkarımlar yapabildiği; çapı veya yarıçapı verilen bir çemberin uzunluğuyla ilgili problemler çözebildiği; çemberde açılar ve yay uzunlukları arasındaki ilişkilere, daire ve daire diliminin alanına dair çıkarım yapabildiği ve çıkarımını yaptığı bu ilişkilere dair bilgilerini farklı problem durumlarında kullanabildiği kabul edilmektedir.

Bunun yanı sıra öğrencilerin çokgene, dörtgenin temel özelliklerine, üçgenin temel ve yardımcı elemanlarına ilişkin özellikler ile üçgende eşlik ve benzerliğe dair çıkarımlarda bulunabildiği; çıkarımlarına dair sonuçları farklı problem durumlarında kullanabildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin temel kabullerde bahsedilen çember, merkez, çap, yarıçap, çemberin uzunluğu, yay uzunluğu, dairenin alanı ve daire diliminin alanı gibi konularla ilgili bilgilerine ilişkin hazır bulunuşlukları gözlemlenir. Bu süreçte soru cevap tekniği kullanılarak öğrencilerin çember ve çemberin özelliklerine ilişkin bilgileri değerlendirilir. Benzer şekilde üçgen ve dörtgenin temel özellikleri ile üçgende eşlik ve benzerliğe dair bilgileri de öğrencilerin sorulara verdikleri cevaplar değerlendirilerek kontrol edilir. Tüm ön değerlendirme süreci boyunca yapılan değerlendirmelerle öğrencilerin eksik veya hatalı öğrenmelerinin giderilmesi için gerekli çalışmalar yapılır. Çember ve çemberle ilgili kavramlara yönelik çalışmalarda öğrencilere çizimler yaptırılarak, matematik yazılımları kullandırılarak ve öğrencilerin sürece aktif katılımları sağlanarak öz güvenlerini geliştirmelerine yardımcı olunur.

Üçgen ve dörtgende temel ve yardımcı elemanlara ilişkin özellikler ile üçgende eşlik ve benzerliğe dair çıkarım yapabilen öğrencilerin bu bilgileriyle çemberde çap, teğet, kiriş özelliklerine ilişkin edinilmesi beklenen bilgiler arasında ilişki kurmaları sağlanır. Önceden öğrendikleri çap kavramından hareketle öğrencilere kiriş kavramı hatırlatılır ve doğruların çemberi iki noktada değil bir noktada kesme durumu inceletilir. Böylece teğet kavramını fark etmeleri sağlanır.

MAT.12.3.1
Öğrencilerin önceden öğrendikleri çember, merkez, çap, yarıçap, çemberin uzunluğu, yay uzunluğu, dairenin alanı ve daire diliminin alanı gibi konular üzerinde tekrar düşünmeleri sağlanır. Hastalıklardan korunmak için insanlar arasında 1,5 metre sosyal mesafenin korunması durumu, sürdürülebilirlik ve sağlıklı yaşam için motorlu taşıt kullanımının azaltılması, bisikletin aldığı yol ile tekerleğin uzunluğu arasındaki ilişki, sudan tasarruf için bahçe ve tarla gibi ziraat yapılan bölgelerde dairesel sulama sistemlerinin kullanılması gibi gerçek yaşam durumlarıyla çember ilişkilendirilir (OB8, D13.4, D16.2, D17.2, E2.1, E2.2). Öğrenciler gruplar hâlinde çalışarak matematik yazılımları, pergel, ölçüsüz cetvel veya kâğıt katlama gibi matematiksel araç ve teknolojiler yardımıyla (MAB5) düzlemde çember ile doğrunun birbirlerine göre durumlarını değerlendirir. Bu değerlendirmeler esnasında gruplar çemberi farklı şekillerde kesen doğrular oluşturarak teğet, kesen ve kiriş kavramlarını belirlemeye yönelik çalışmalar yapar.

Öğrencilerin çemberi kesen bir doğrunun çemberi kestiği noktalardan yararlanarak kiriş ve yay kavramlarını, çembere bir noktada değen doğrudan yararlanarak teğet kavramını incelemeleri sağlanır. Sınıf içi tartışmalarla öğrencilerin grup iletişimine katılma, etkin dinleme ve düşüncelerini ifade etme süreçleri de dikkate alınarak çemberde kesen, kiriş, teğet, çap ve yay arasındaki ilişkilerin belirlenmesi sağlanır (SDB2.1, SDB2.2, D14.1). Öğrencilere çemberde kesen, kiriş, teğet, çap ve yay arasındaki ilişkilere yönelik çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.12.3.2
Öğrencilerin matematik yazılımları veya pergel, ölçüsüz cetvel gibi matematiksel araç ve teknolojiler kullanarak (MAB5) çember ve çemberde açı, teğet ve kiriş özelliklerine ilişkin varsayımlarda bulunmaları sağlanır. Bu varsayımlardan hareketle merkez açı, çevre açı, iç açı, dış açı, teğet-kiriş açının çemberde oluşturduğu yayların ölçüleri arasındaki ilişiklere dair genellemeler yapmaları istenir. Öğrencilerin varsayımlar oluşturma ve genellemelere ulaşma sürecinde dijital uygulamalar kullanmaları durumunda dijital okuryazarlık becerilerinin gelişimi de sağlanır (OB2). Bu genellemeler ile varsayımlarını bilimsel bir bakış açısıyla karşılaştırmaları beklenir (D3.3). Elde ettikleri genellemeleri kullanarak “Merkez açının ölçüsü, aynı yayı gören çevre açının ölçüsünün iki katıdır.”, “Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların ölçüleri toplamı birbirine eşit ve 180 derecedir.” gibi önermelerde bulunmaları; bu önermeleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirmeleri öğrencilerden beklenir.

Teğetler dörtgeninin özellikleri ile ilgili de öğrencilerin benzer şekilde çıkarımda bulunmaları sağlanır. Öğrenciler teğetler dörtgeninin alanının nasıl hesaplanacağına ilişkin dijital araçlar kullanarak bir bilgi notu hazırlar ve bunu arkadaşlarıyla dijital ortamda paylaşır (OB2). Öğrenciler ayrıca çemberlerin birbirine göre durumlarından elde edilen uzunluk özelliklerine dair benzer bir süreç işleterek önermelerde bulunur.

Çemberde açı, kiriş ve teğetin özellikleri ile bunların problem durumlarında kullanımlarını gerektiren açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıtları verilebilir.

MAT.12.3.3
Öğrencilere çemberde açı, kiriş ve teğetle ilgili çıkarımlarını kullanmayı gerektiren problem durumları sunulur. Bu problemler fizik dersinde yer alan dairesel hareketle ilişkilendirilebilir. Öğrencilerden sunulan problem durumlarına ilişkin olarak öncelikle problemin parçaları (alan, çevre açı, teğet noktası, çap, kiriş, yay uzunluğu gibi) ve bu parçalar arasındaki ilişkileri belirlemeleri beklenir. Bu tür problemlerdeki parçalar ile bunlar arasındaki ilişkiler; öğrencilerin bilgiyi çözümleme, yorumlama ve sentezleme becerilerinin de gelişimini sağlar (OB1). Öğrencilerden özellikle gerçek yaşam durumlarını içeren problemleri analitik bir yaklaşımla ve görsel bir temsili kullanarak dönüştürmesi ve problemin bileşenlerini ifade etmesi beklenir (E3.6, MAB3). Öğrencilerin problemin çözümü için geliştirdikleri stratejileri uygulayarak problemi çözmeleri ve çözümlerini kontrol etmeleri sağlanır. Bu tür problemlerin çözümünde çemberle birlikte üçgen ve çokgenin özellikleri (ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen, benzerlik, alan gibi), kâğıt katlama stratejileri, matematik yazılımlarının kullanımını içeren stratejiler kullanılır. Daha sonra öğrencilerin farklı çözüm yollarını ve stratejilerini eleştirel bir yaklaşımla incelemeleri beklenir (E3.10). Bunun için çözümleri tartışma ortamında ele almaları sağlanır. Tartışılan çözüm stratejileri üzerinden problemin çözümünü sağlayan stratejilerin benzer tüm durumlara genellenip genellenemeyeceği incelenir. Çözüm stratejilerinden hangilerinin hangi tür problemlerde kullanılabileceğine ilişkin (pergel, cetvel, ölçüsüz cetvel veya matematik yazılımları ile çokgenlerin özelliklerinin kullanımı gibi) genellemeler matematiksel örneklerle desteklenerek gözden geçirilir. Öğrencilerin kendi uyguladıkları stratejilerin doğruluğu ya da yanlışlığı ile ilgili ayrıca bir değerlendirme yaparak belirledikleri stratejileri farklı problem durumlarına uyarlamaları sağlanır (SDB1.3). Bu değerlendirmeler sonucunda öğrencilerden elde ettikleri genellemeleri farklı problem durumlarına yansıtmaları beklenir. Bu süreçte çemberin uzunluğu, yayın uzunluğu, dairenin alanı, daire diliminin alanı kavramlarını farklı çokgenlerle ilişkilendirmelerini gerektiren problemlere yer verilir. Öğrencilerin çember ve özelliklerine dair bilgi ve çıkarımlarının değerlendirilmesi, tanılayıcı dallanmış ağaç ya da doğru-yanlış soruları kullanılarak yapılabilir. Öğrencilere çemberde açı, kiriş ve teğetin özelliklerini ve dairenin alan bağıntısını içeren problemler çözmelerini gerektiren performans görevi verilebilir.

Öğrencilerden çemberin uzunluğu ve dairenin alanı için yapacakları görsel ispatları açıklayan bir video ve benzeri dijital materyal oluşturmaları ve oluşturdukları materyalleri dijital ortamda paylaşmaları beklenir.

(*) Dairenin alanı ve pi sayısı üzerine Arşimet’in yaptığı çalışmaların araştırılması istenir.

Konunun görsel ve işitsel materyaller kullanılarak, oyunlaştırılarak öğrencilere sunulmasına dikkat edilir. Böylece çıkarım yapma sürecinde kavramlar, öğrencilere ilişkilerin somutlaştırılması yoluyla verilir. Etkileşimli çevrim içi öğrenme uygulamaları kullanılarak öğrencilerin hedeflenen becerileri kazanmalarına yardımcı olunur.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D7. Estetik, D14. Saygı, D19. Vatanseverlik

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı

Öğrencilerin dik prizma, dik piramit, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin temel elemanlarını (yüz, ayrıt, köşe gibi) bildiği; dik prizma ve dik dairesel silindirin yüzey alanı bağıntılarını öğrendiği; bu bağıntıları problem durumlarında kullanabildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin temel kabullerde bahsedilen bilgilere ilişkin hazır bulunuşlukları gözlemlenir. Bu süreçte soru cevap tekniği kullanılarak dik prizma, dik piramit, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin açınımları, elemanları ve dik prizma ile dik dairesel silindirin yüzey alanına ilişkin bilgileri değerlendirilir. Verdikleri cevaplardan hareketle öğrencilerde görülen eksiklikler ve varsa hatalı anlamalar üzerinde durulur, öğrencilerin bilgilerini doğru anlamlandırmaları ve eksikliklerini tamamlamaları sağlanır. Soru cevap yöntemi sayesinde tartışma ortamında öğrencilerin öz güven ve merak eğilimleri de gözlemlenerek değerlendirilir. Öğrencilerin problem durumlarında dik prizma, dik piramit, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin elemanlarını, dik prizma ve dik dairesel silindirin yüzey alanı bağıntılarını kullanıp kullanamadıkları incelenir. İnceleme sonucunda yüzey alanı bağıntılarını hatırlayamayan öğrencilerin akranları ile grup tartışmaları yaparak bu bağıntıları hatırlamaları sağlanabilir.

Öğrencilerden dik prizma ve dik dairesel silindirin temel elemanlarına yönelik sahip oldukları bilgileri kullanarak bu cisimlerde farklı elemanların olup olamayacağını incelemeleri istenir. Dik piramit, dik dairesel koni ve kürenin elemanlarını çözümlemede; yüzey alanı ve hacim bağıntılarını belirlemede öğrencilerin dik prizma ve dik dairesel silindiri kullanmaları beklenir.

Öğrenciler; dik prizmaların yan yüzlerinin birer dikdörtgen, dik piramitlerin yan yüzlerinin birer üçgen olduğu bilgisine sahiptir. Öğrencilerden birim küplerden dikdörtgenler prizması elde ederek prizmaların hacim bağıntılarını birim küp sayısına bağlı olarak oluşturmaları beklenir. Bu düzeyde birim küpün tabanı ve yüksekliği aynı olan kaç dik piramide ayrılabileceği sorusundan hareketle dik piramidin hacim bağıntısının elde edilmesi beklenir. Benzer şekilde dik dairesel silindir ile dik dairesel koni için de çalışmalar yapılır.

Öğrenciler; dik piramit, dik dairesel koni ve kürenin yüzey alanları ile hacim bağıntılarını ilk defa bu seviyede inceleyeceklerdir. Bu incelemelerinde öğrencilerden dik prizma ile dik dairesel silindirin yüzey alanı ve hacim bilgilerinden yararlanmaları beklenir.

MAT.12.4.1
Öğrencilerin önceden öğrendikleri dikdörtgenler prizması, küp, kare dik prizma gibi dik prizmaların ve dik dairesel silindirin elemanlarını belirlemeleri beklenir. Elemanlar belirlendikten sonra önceki bilgilerine ek olarak dik prizmaların yüksekliği, yüzey köşegeni ve cisim köşegeninden; dik dairesel silindirin ise yüksekliğinden bahsedilerek bunların özellikleri incelenir. Bu cisimlere ait yeni öğrenilen elemanların öğrencilerin bildiği elemanlarla ilişkisi belirlenir (bir dikdörtgenler prizmasında yüzey köşegeninin uzunluğunun karesinin o yüzeyin kenar uzunluklarının kareleri toplamına eşit olması gibi). Öğrencilere farklı dik prizma ve dik dairesel silindirler içeren çalışma kâğıdı verilerek belirledikleri ilişkileri incelemeleri istenebilir.

MAT.12.4.2
Öğrencilere farklı dik piramit ve dik prizma örnekleri sunulur. Bu örnekler üzerinden öğrencilerin bu cisimlerin elemanlarını belirlemeleri beklenir. Hem dik prizma hem de dik piramit örneklerindeki elemanların benzerliklerinden yola çıkarak dik piramidin tüm elemanları hakkında çıkarımlar (“Bir dik prizmanın yan yüz yüksekliğinin uzunluğu, aynı taban ve aynı yüksekliğe sahip bir dik piramidin yan yüz yüksekliğinin uzunluğundan daha küçüktür.” gibi) yapmaları sağlanır. Benzer şekilde öğrencilere dik dairesel silindir ile dik dairesel koni ve küre örnekleri sunularak öğrencilerin bu cisimlerin elemanları arasındaki ilişkilere yönelik çıkarımlar yapmaları istenir. Dik dairesel koninin ana doğrusu tanımlanıp dik piramidin cisim yüksekliği ve yan yüz yüksekliği arasındaki ilişkiden hareketle dik dairesel koninin cisim yüksekliği ve ana doğrusu arasındaki ilişkiye yönelik de çıkarımlar yapılır.

Dik piramidin elemanlarının (cisim yüksekliği, yan yüz yüksekliği gibi) dik prizma yardımıyla tanımlanıp nasıl çizileceği üzerinde durulduktan sonra öğrencilerin yüksekliği ve tabanları aynı olan dik prizma ile dik piramitlerin hacimlerini matematik yazılımları kullanarak veya deneysel olarak karşılaştırması sağlanır (MAB5). Öğrencilerin ortaya çıkan benzerliklerden yararlanarak dik piramidin ve dik dairesel koninin hacim bağıntılarına yönelik çıkarım yapmaları sağlanır. Benzer şekilde öğrencilerden cisimlerin açınımlarını gözlemleyerek yüzey alanlarını da karşılaştırmaları beklenir. Öğrencilerden bu cisimlerin yüzey alanları ve hacimlerine ilişkin incelenen örneklerin niteliklerini (cisimleri oluşturan yan yüzeylerin hangileri olduğu, alanlarının nasıl hesaplanabileceği, hacimlerin arasındaki oransal ilişki) belirlemeye yönelik hazırlanan çalışma kağıdındaki soruları cevaplamaları istenir. Ortaya çıkan benzerliklerden yararlanarak öğrencilerin dik prizma ile dik piramidin yüzey alanı ve hacim bağıntılarına yönelik çıkarım yapmaları sağlanır.

Benzer şekilde dik dairesel silindirin yüzey alanı ve hacminden yararlanılarak dik dairesel koninin ve kürenin yüzey alanlarına ve hacimlerine yönelik farklı örnekler gözlemlenir. Gözlenen örneklerin yüzey alanı ve hacmi ile ilgili nitelikleri belirlenir. Bu süreç sonunda öğrencilerin dik dairesel koni ile kürenin yüzey alanları ve hacim bağıntılarına yönelik çıkarım yapması sağlanır. Yapılacak çalışmalar, öğrencilerin yaratıcılık (E3.3) ve sistematik olma (E3.7) eğilimlerinin geliştirilmesini sağlar.

Öğrencilerden bu çalışmalarını iş birlikli (SDB2.2) bir şekilde çevrim içi uygulamaları kullanarak bir platform üzerinden sunmaları istenir. Örneğin sınıfça kullanılacak dijital pano oluşturma araçlarıyla öğrencilerin tüm fikirlerinin aynı anda değerlendirilmesi ve dijital okuryazarlık becerilerinin geliştirilmesi sağlanır (OB2). Ayrıca Arşimet’in kürenin yüzey alanı ve hacim bağıntılarını oluşturmada dik dairesel silindirden yararlanması ile ilgili çalışmaları incelenir. Arşimet’in bu çalışmalarını cebirsel olarak inceleyen Mahani’nin çalışmaları da araştırılarak öğrencilerin merak eğilimleri harekete geçirilir (E1.1). Öğrencilere Türk-İslam ve dünya mimarisinden geometrik cisimlerin bina tasarımlarında kullanımına ilişkin örnekler sunulur. Seçilen örnekler arasında Türk-İslam mimarisine ait yapıların olması; öğrencilerin millî ve manevi değerlere saygı duyma eğilimlerinin, kültürel mirası korumaya verdikleri değerin geliştirilmesine hizmet eder (D14.3, D19.3, OB5). Bina tasarım (mühendislik) örnekleri incelenir, öğrencilerin kullanılan geometrik cisimlerin neden tercih edildiğine ilişkin fikirlerini paylaştığı bir ortam oluşturulur. Tartışma, sorularla (“Estetik kaygılar dışında bir binanın küre şeklinde tasarlanmasının nedeni ne olabilir?” gibi) yönlendirilir. Öğrencilerin görsel yorumlama tekniğini kullanarak konuyla ilgili fikir alışverişi yapmalarının sağlanması, kültürel mirasa değer verme hassasiyetlerinin artırılmasını ve sanatsal zevklere bakış açısının geliştirilmesine yardımcı olarak estetik değerinin kazanılmasını da destekleyecektir (D7.1). Öğrencilere geometrik cisimlerin ayrıt ve yüzey açınımları ile alan ve hacim bağıntılarına yönelik bir performans görevi verilebilir.

MAT.12.4.3
Öğrencilere geometrik cisimlerin açınımlarını, yüzey alanını, hacim bağıntılarını ve dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenini kullanabilecekleri farklı problem durumları sunularak bu problemleri incelemeleri istenir. Öğrencilere sunulacak bu problemlerde geometrik cisimlerin günlük hayatta kullanımına ilişkin örneklere özellikle yer verilir (OB4). Öğrencilerin sunulan problem durumlarına ilişkin olarak öncelikle problemin parçaları (sayısal/nicel, görsel/şekil gibi) ve bu parçalar arasındaki ilişkileri belirlemeleri sağlanır. Bu süreçte öğrencilerin bilgiyi çözümleme becerileri de desteklenir (OB1). Öğrencilerin özellikle gerçek yaşam durumlarını içeren problemleri matematiksel dil kullanarak farklı temsillerle ifade edecek şekilde dönüştürmesi sağlanır. Matematiksel temsillere dönüştürdüğü problemin bileşenlerini ve aralarındaki ilişkileri ifade etmesi beklenir (MAB3). Öğrencilerin problemin matematiksel ifadesini kullanarak çözüm için bir strateji geliştirmeleri ve bu stratejiyi uygulayarak problemi çözmeleri sağlanır. Öğrenciler çözümlerini kontrol eder ve çözümlerini arkadaşları ile karşılaştırır (SDB2.2). Böylece öğrenciler farklı çözüm stratejilerini ve yollarını da inceler. Çözümlerin eleştirel bir yaklaşımla tartışma ortamında ele alınması sağlanmalıdır (SDB2.1,E3.10). Ele alınan çözüm yollarından problemin çözümünü sağlayanların benzer problem durumlarına genellenip genellenemeyeceği incelenir. Öğrencilerden ulaştıkları sonuçları kullanarak elde edilen çözüm stratejilerinin hangi tür problemlerde kullanılabileceğini ifade etmesi beklenir. Bu süreçte öğrencilerden çözüm stratejileri ile ilgili çıkarımlarda bulunarak bu çıkarımlarını farklı problem durumlarında ele almaları istenir. Öğrencilere farklı problem durumlarına ilişkin çalışma kâğıdı verilerek çözüm stratejilerine ilişkin çıkarımlarını matematiksel örnekler üzerinden değerlendirmeleri sağlanır. Bu süreçte öğrencilerin etkileşim içinde birlikte çalışmaları desteklenmelidir (SDB2.1). Öğrencilere geometrik cisimlerin açınımları, yüzey alanı ve hacim bağıntılarını kullanabilecekleri farklı problemleri çözmelerine yönelik performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilere geometrik cisimlerin mimari eserlerde kullanımına yönelik olarak verilebilecek proje ödevinde Türk-İslam kültürüne değer katan eserlerin ve mimarlarının (Mimar Sinan, Sedefkâr Mehmed Ağa gibi) incelenmesi istenerek öğrencilerin konuya ilişkin bilgi sahibi olmaları sağlanır. 

(*) Geometrik cisimler tabana paralel ya da dik bir düzlemle kesildiğinde oluşan yapının yüzeyleri incelenir. İncelenen geometrik cisimlerde hangi kesimlerle hangi tür yüzey şekillerinin oluşabileceği yorumlanır. Ayrıca oluşan yeni cisimler incelenir. Bu bağlamda Pergeli Apollonius’un (Apolloniyus) çalışmalarının araştırılması ve sınıfta sunulması istenir.

Öğrencilerin konuya ilişkin tasarlanmış materyaller veya matematik yazılımları ile çalışmaları sağlanarak öğrenme çıktılarına ilişkin becerilere ve içerik bilgisine ulaşmaları sağlanır.

Görsel materyallerle desteklenerek öğrencilerin incelenen geometrik cisimlerin açınım ve elemanlarını çözümlemesi sağlanmalıdır. Bunun için video ve etkileşimli içerikler kullanılır. Öğrencilerin kâğıt veya karton kullanarak geometrik cisimleri kendilerinin oluşturması sağlanır.

Öğrencilere günlük hayatta bu cisimlerin kullanıldığı tasarımlarla ilgili video ve dijital içerikler izletilir.

Öğrencilerin cisimlerin hacim bağıntıları arasındaki ilişkileri deneysel yollarla fark etmeleri sağlanır. Örneğin öğrenciler, kartondan yaptıkları aynı taban ve yüksekliğe sahip dik dairesel koni ile silindirin içini aynı malzeme ile doldurarak malzemelerin hacimleri oranını bulur.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB1.3. Kendine Uyarlama (Öz Yansıtma), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB2.3. Sosyal Farkındalık, SDB3.1. Uyum, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D14. Saygı, D20. Yardımseverlik

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB6. Vatandaşlık Okuryazarlığı, OB8. Sürdürülebilirlik Okuryazarlığı

Öğrencilerin tek değişkenli (kategorik veya nicel) ve iki değişkenli (kategorik-kategorik, nicel-nicel) veri setleri ile çalışarak istatistiksel araştırma sürecini yürütebildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bütününe ilişkin bilgilerini değerlendirmek amacıyla beyin fırtınası tekniği kullanılır. Öğrencilerin önceki sınıflarda edindikleri istatistiksel araştırma sürecine ilişkin deneyimleri paylaşmaları istenerek istatistiksel araştırma sürecine yönelik ilgi ve merakları gözlemlenir. Bununla birlikte öğrencilerin bu zamana kadar öğrendiklerine ilişkin kavram haritası oluşturmaları istenerek ön bilgileri ortaya çıkarılır. Hazırlanan kavram haritaları paylaşılarak tartışılır.

Öğrencilere çok değişken içeren bir veri seti sunulur. Bu veri seti üzerinden önceki öğrendiklerini hatırlamaya yönelik incelemeler yapmaları istenir. Öğrencilerin önceki yıllarda öğrendiği tek değişkenli nicel veri dağılımlarını betimlemeyi ve karşılaştırmayı, iki değişkenli kategorik ya da nicel verilerdeki ilişkililiği ele almayı tek bir araştırmada kullanabileceğine yönelik tartışmalar yapılır.

MAT. 12.5.1
İstatistiksel araştırma süreci; bağlamı belirleme, bağlama yönelik soru sorma, veri toplama planı yapma, verileri analize hazır hâle getirme, verileri analiz etme ve sonuçları yorumlama aşamalarının tamamını içerecek şekilde ele alınır. Bu sınıf seviyesinde öğrenciler, tek nicel değişken içeren dağılımların yanı sıra iki nicel ve iki kategorik değişken içeren dağılımlarla istatistiksel araştırma sürecini yürütür.

İstatistiksel araştırma tasarımına kaynaklık edecek bağlamlar, öğrencilerin ilgi duyduğu veya merak ettiği (E1.1) toplumsal ve bilimsel durumlar; bireysel çalışmalar ya da iş birliğiyle grup çalışması yapılarak belirlenir. Grup çalışmaları sürecinde fikirlerini arkadaşlarıyla paylaşarak uygunluğu üzerine öğrencilerin tartışmaları ve aktif rol almaları desteklenir (SDB2.2, D3.4). Öğrencilerin bu tartışmalarla istatistiksel araştırma gerektirebilecek toplumsal ve bilimsel durumlara ilişkin bilgilere ihtiyaçları olduğunu keşfetmelerine yönelik düzenlemeler yapılmalıdır (OB1). Toplumsal veya bilimsel konulara yer verilmesi, kendi çevresinde olup bitenleri merak etmesini sağlar ve bu meraktan hareketle sorular sormasını teşvik etmesinin yanı sıra daha duyarlı olmasına yardım eder (D5.1, E3.8).

Belirlenen bağlamlardan yola çıkarak öğrenciler, merak ettikleri soruları (E3.8) ifade eder. Bu aşamada öğrencilerle çok değişkenli veri setlerinden en fazla iki değişken içeren problemlerin neler olabileceği üzerine sınıf içi tartışma başlatılır. Bu tartışmalarda uygun değişkenlerin nasıl belirleneceği üzerine öğrenciler, fikirlerini arkadaşlarıyla paylaşır. Öğrenciler, birbirlerinin fikirlerini saygı çerçevesinde dinleyerek değişkenleri belirler (SDB2.2, D14.1). Bu tartışmanın sonunda öğrenciler farklı bağlamlardan hareketle betimsel, karşılaştırma veya ilişkililiğe odaklanan, istatistiksel araştırma sorularına ulaşır (SDB2.1). Öğrencilerden bu süreçte dünyaya ve topluma duyarlılığını, ekosistemin sürdürülebilirliğini yansıtabileceği farklı disiplinlere yönelik araştırma soruları hazırlamaları beklenir (SDB2.3, SDB3.3, OB8, D5.1). Örneğin hava kirliliği ve iklim değişikliğine odaklanan (coğrafya), gelir dağılımı ve yaşam koşullarını (sosyoloji) veya yatırım ve tasarrufları inceleyen (ekonomi) (OB3) araştırma soruları oluşturabilir.

Hazırlanan araştırma sorularına cevap bulabilmek amacıyla veri elde etme sürecine geçilir. Bu süreçte öğrencilerin hazır veriye hangi kaynaklardan nasıl ulaşabileceği üzerine sınıf içi tartışma yapılır (SDB2.1). Örneğin öğrenciler, belirledikleri soruların bağlamı ile ilişkili olan kamu kurumlarının genel ağ adreslerini ziyaret ederek (OB6) ihtiyaç duydukları hazır verilere ulaşır (OB1). Ayrıca belirledikleri sorular bağlamında dijital ortamlarda bu tür verileri nasıl elde edebilecekleri ile ilgili tartışmalar yapılır. Bu sayede öğrenciler, ulusal veya uluslararası resmî kanallar üzerinde dijital kaynaklardan hazır verileri elde eder (OB2). Sınıf ortamına ve imkânlara bağlı olarak gerektiğinde hazır veriler öğrencilere sağlanır. Öğrenciler; hazır veri setlerindeki verilerin nasıl toplandığı, değişkenlerin nasıl tanımlandığı gibi ölçütlerle veri toplama sürecini sorgular. Hazır veriye ait örneklemin genellemeyi hedeflediği evrene uygunluğunu olasılık bilgilerini kullanarak ve eleştirel bakarak (E3.10) tartışır. Elde edilen hazır verilerin belirlenen araştırma sorusuna cevap verebilecek değişkenleri içerip içermediği inceletilir. Öğrencilerden çalıştıkları hazır veriye göre araştırma sorularında gerekiyorsa uyarlama yapmaları beklenir (SDB1.2).

Öğrenciler tarafından oluşturulan istatistiksel araştırma soruları ve elde edilen/verilen verilerin nasıl toplanmış olabileceği, istatistiksel araştırma sorusu ve veri toplama planı ölçütleri doğrultusunda oluşturulan kontrol listesiyle değerlendirilebilir.

Araştırma soruları bağlamında öğrencilerden betimsel, karşılaştırma ve ilişkililik içeren veri dağılımlarını analiz edebilmek için görselleştirme araçlarından ve/veya özetleme araçlarından uygun olanlarını seçmeleri istenir (SDB1.2, MAB3). Bu süreçte çıkarımsal istatistiğin araçlarına (örneğin güven aralıkları, hipotez testi) yer verilmez. Uygun olan araçların belirlenmesinde araştırma sorularına yeniden dönülerek hangi araçların uygun olduğuna dair sınıf içi tartışma (SDB2.1) yapılır. Bu süreçte öğrenciler birbirlerinin fikirlerini nezaketle dinler, arkadaşlarıyla empati yapar (SDB2.3, D14.1). Seçilecek araçlar, araştırma sorularına cevap verecek ve verileri analiz edecek nitelikte olmalıdır. Öğrencilerin istatistik yazılımlarını kullanarak (MAB5) ve görselleştirme ve/veya özetleme araçlarıyla verileri analiz etmeleri istenir (OB2). Bu süreçte her öğrencinin betimsel, karşılaştırma ve ilişkililik içeren araştırma tasarımlarını deneyimlemeleri sağlanır.

Analiz süreci tamamlandığında elde edilen araştırma sonuçlarına ilişkin sınıf içi tartışma yapılır (SDB2.1, D14.1). Öğrencilerden elde ettikleri sonuçlardan hareketle araştırma sorusuna cevap vermeleri beklenir (SDB3.3). Bu süreçte öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bütün bileşenlerini sistematik (E3.7) bir şekilde gözden geçirmeleri sağlanır. Araştırma sorularına verilecek cevapların istatistiksel bir dil içermesi önemlidir. Elde edilen sonuçlar doğrultusunda öğrencilerin seçilen örneklem dağılımından hareketle evren dağılımı hakkında çıkarımlar yapması ve elde edilen sonuçları belirsizliği dikkate alan bir dille ifade etmesi beklenir. Araştırma tasarımının bütününe ilişkin poster, rapor, sunum veya dijital araçlar yardımıyla hazırlanan ürünler (OB2) sınıf ortamında sunulur. Ayrıca öğrenciler; dijital hikâye, poster, sunum ya da bilgi görseli gibi ürünler hazırlayarak çeşitli platformlarda (EBA, kongre, bilim olimpiyatları, çalıştay gibi) istatistiksel araştırma tasarımını ve elde ettiği sonuçları paylaşır (OB2). Öğrenciler, elde ettikleri istatistiksel sonuç ve çıkarımlara dayalı olarak veri temelli argümanlar ve veriye dayalı çözüm önerileri geliştirir. İstatistiksel araştırma süreci kapsamında belirlemiş olduğu toplumsal veya bilimsel durumlarla (küresel ısınma, orman yangınları, nesli tükenmekte olan türler gibi) ilgili veri temelli argümanlar ve yeni çözüm önerileri üretir (OB8), ilgili kamu kurumları ile iletişime geçer ya da ilgili sivil toplum kuruluşlarında çözüm önerilerini eyleme dönüştürebileceği gönüllü faaliyetlere katılır (OB6, D20.4). Elde ettiği sonuçlardan hareketle ileride oluşabilecek durumlar için ne tür yeni araştırmalar tasarlanabileceğine ilişkin öğrencilerden öneriler sunmaları beklenir (SDB3.1). Öğrencilerin bu toplumsal ve bilimsel durumları Dünya Su Günü gibi belirli gün ve haftalarla ilişkilendirmeleri sağlanarak farkındalık oluşturmak hedeflenir. Öğrencilerden istatistiksel araştırma tasarlama, yürütme ve sonuçlarını paylaşma süreçlerinde bireysel deneyimlerini ve varsa yaşamış oldukları zorlukları günlük gibi araçlarla kayıt altına almaları istenir. Süreç boyunca kendi duygu, düşünce ve davranışlarını nasıl yönettiklerini ve bu zorluklarla nasıl başa çıktıklarını değerlendirmeleri istenir (SDB1.2, SDB1.3). Öğrencilere hazır verilere dayalı istatistiksel araştırma tasarımı yapabilmelerine, istatistiksel araştırma sürecini yürütebilmelerine ve sonuçları paylaşabilmelerine yönelik bir proje ödevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden toplumsal planda kritik olduğunu düşündükleri bağlamları (iklim değişikliği, teknoloji bağımlılığı gibi) kullanarak oluşturdukları istatistiksel araştırma tasarımlarını ve sonuçlarını bilimsel bir rapor, makale veya bildiri şeklinde düzenlemeleri istenerek akademik ortamlarda (çalıştay, kongre gibi) paylaşmaları beklenir.

(*) Öğrencilerden yürüttükleri istatistiksel araştırmaların sonuçlarına ilişkin çözüm önerilerini ilgili kuruma sunacak şekilde projelendirmesi istenir.

Öğrencilere çok değişken içeren veri seti sunulup öğretmen tarafından seçilen bir değişkenin o veri setinde yer alan diğer değişkenlerden hangisi ile en ilişkili olduğu incelenir, seçilen değişkenlere yönelik istatistiksel araştırma tasarımları yapmaları öğrencilerden beklenir. Elde ettikleri sonuçları dijital araçlar yardımıyla paylaşmaları ve deneyimlerini ifade etmeleri istenir.

Hazır veri setlerinde daha az sayıda değişken olmasına ve bu değişkenlere ait veri sayısının daha az olmasına dikkat edilerek istatistiksel araştırma sürecinin yürütülmesi istenir. Elde edilen sonuçlar, çeşitli görsel araçlar (sunum, bilgi görseli gibi) yardımıyla sınıf ortamında paylaşılır.

İstatistiksel araştırma süreci, grup çalışması ile yürütülür. Gruplar heterojen şekilde düzenlenir, öğrencilerin ilgi ve ihtiyaçlarına uygun görevler verilmesi sağlanır. Akran öğrenmesi ve görev paylaşımları ile öğrencilerin istatistiksel araştırma tasarımlarını anlamlandırması desteklenir.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D3. Çalışkanlık, D17. Tasarruf

OB3. Finansal Okuryazarlık

Öğrencilerin ondalık gösterim ile verilen sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapabildiği; ondalık gösterimlerin basamak değerlerini belirleyebildiği; ondalık gösterimlerle ve tabanı rasyonel sayı, kuvveti tam sayı olan üslü gösterimleri verilen sayılarla işlemler yapabildiği; irrasyonel sayıları bildiği, bir irrasyonel sayının elemanı olduğu gerçek sayı aralıklarını belirleyebildiği kabul edilmektedir. Ayrıca gerçek sayı aralıklarını sayı doğrusu üzerinde gösterebildiği; pozitif bir gerçek sayının karekökünün rasyonel sayı olup olmadığını belirleyebildiği; rasyonel sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin değişme, birleşme, birim eleman, yutan eleman özellikleri ile çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğini bildiği ve cebirsel ifadeleri belirleyip bunlarla işlemler yapabildiği kabul edilmektedir.

Ondalık, üslü ve köklü gösterimlerin anlamlarına, ondalık gösterimlerde basamak değerlerinin belirlenmesine ve ondalık gösterimlerle işlem yapmaya yönelik bilgi ve beceri düzeylerini ortaya çıkaran çalışmalara yer verilir. Taban ve üs kavramları ile ilgili bilgilerin sorgulanmasına yönelik sorular sorulur. Tabanı rasyonel sayı ve kuvveti tam sayı olan bir sayının kuvvetinin nasıl alındığı ile ilgili örnekler verilir.

Öğrencilerden verilen gerçek sayı aralıklarını sayı doğrusunda göstermeleri istenir. Buradan yola çıkılarak sayı doğrusunda yer alan noktaların ve gerçek sayı aralıklarının neye karşılık geldiği sorularak bu konular hakkındaki temel bilgileri değerlendirilir. Bununla birlikte irrasyonel bir sayının sayı doğrusundaki yaklaşık yerinin gösterilmesi istenir.

Öğrencilerin gerçek sayıları, gerçek sayılarla yapılan işlemleri (irrasyonel sayılar hariç) ve bunların özelliklerini hatırlayıp hatırlamadıklarını kontrol etmeye yönelik gerçek yaşam durumu örnekleri verilebilir. Öğrencilerden bu örneklere karşılık gelen cebirsel ifadeleri bulmaları istenir. Elde ettikleri cebirsel ifadeler üzerinde işlem yapmaları [2a + 2b, y - (3y - 2), 2·(5x - 1) gibi] sağlanır.

Gerçek sayıların ondalık, üslü ve köklü gösterimlerine duyulan ihtiyaç ile ilgili olarak öğrencilerin fikirlerini paylaşması sağlanır. Sayıların bağlamlarla anlam kazandığı farklı disiplinlerden (fizik, kimya, biyoloji, astronomi) veya gerçek yaşam durumlarından gösterim örneklerine yer verilir. Gerçek yaşam örnekleri üzerinden farklı sayı kümelerine ve sayıların farklı temsillerine neden ihtiyaç duyulduğuna dair sınıf tartışması yapılır. Örneğin 100 metre koşu yarışlarında koşucuların sıralamalarının belirlenmesinde neden ondalık gösterime ihtiyaç duyulduğu sınıf içinde tartışılır.

MAT.9.1.1
Öğrencilerin gerçek sayıların gösterimleri (üslü ve köklü) ile karşılaşılan gerçek yaşam durumlarına veya farklı disiplinlerdeki alanlara örnekler bulması beklenir. Farklı örnekler incelenerek aritmetik işlemler ve aritmetik işlemlerin genel özelliklerinin neler olabileceği tartışılır. Bunlara dayalı olarak öğrencilerden varsayımlar geliştirmeleri istenir. Bu gösterimlerle yapılan işlemlerde ortaya çıkan örüntüler belirlenir. Belirlenen örüntülere göre öğrencilerin genellemeler yapmaları sağlanır.

Öğrencilerden gerçek sayıların özel bir gösterimi olan bilimsel gösterimin kullanıldığı fizik, kimya ve biyoloji derslerindeki gerçek yaşam durumlarına (atmosferdeki karbondioksit miktarı, gezegenler arası mesafe, atomun büyüklüğü, bir ışık yılı gibi) ilişkin araştırma yapmaları istenir (E1.1). Araştırmalar sonucunda bilimsel gösterimlerin nerelerde kullanıldığına yönelik örneklere yer verilebilir (D3.3).

Üslü gösterimlerle yapılan işlemlerde üs, rasyonel sayı seçilir. Üssün tam sayı olmadığı durumlarda üslü ve köklü gösterimlerle yapılan işlemler arasında ilişki kurmaya yönelik genellemelere de yer verilir.

Öğrencilerden incelenen durumlardaki varsayımları ile yaptığı genellemeleri karşılaştırmaları beklenir. Bu karşılaştırmalardan yararlanarak üslü ve köklü gösterimlerle ilgili işlemler yapmaları ve bunlar arasındaki ilişkilere yönelik önermeler elde etmeleri sağlanır. Öğrencilerden elde ettiği önermeleri farklı problem durumlarında nasıl kullanabileceklerini değerlendirmeleri beklenir. İrrasyonel sayıların yaklaşık değerlerinin kullanıldığı mühendislikten, astronomiden veya gerçek yaşamdan problem durumlarına da yer verilir. Böylece hata payının gerçek sayıların yaklaşık değerleriyle ilişkisini öğrencilerin görmeleri sağlanır. Ayrıca benzer problemlerde üslü ve köklü gösterimleriyle verilen bir sayının yaklaşık değeri, tasarruf bilinci ile ilişkilendirilir (D17.3). Örneğin 1 dönümlük arsasının sınırlarını çitle çevirmek isteyen bir çiftçi için işin maliyeti, en doğru şekilde hesaplanır (OB3). Öğrencilerden üslü ve köklü gösterimlerin kullanıldığı işlemler hakkında elde ettikleri önermeleri cebirsel yöntemlerle doğrulamaları ve doğrulama yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendirmeleri beklenir (E3.6, E3.7). Öğrencilere fizik, kimya ve biyoloji derslerinde; astronomide, mühendislikte üslü ve köklü gösterimlerin kullanıldığı durumlara dair araştırma ödevi verilebilir.

MAT.9.1.2
Küme kavramına ilişkin formel bir tanıma girilmeden temel bilgiler, sembol ve işlemler (eleman olma-olmama, eleman sayısı, listeleme ve ortak özellik yöntemleri, alt küme, boş küme, birleşim, kesişim, fark, tümleme işlemleri) elemanları sayılar olan küme örnekleri üzerinde incelenir. Farklı gösterim yöntemlerinin (listeleme, ortak özellik) kullanıldığı durumlar, sayı kümelerinin (doğal sayılar, tam sayılar, çift tam sayılar, 3’ün katı olan doğal sayılar, rasyonel sayılar gibi) gösterimi bağlamında ele alınır. Gerçek sayı aralıkları ve bu aralıklarla yapılacak işlemlerde (kesişim, birleşim, fark, tümleme) sayı doğrusu gösterimi, cebirsel temsil ve küme gösterimleri bir arada kullanılır. Gerçek sayı aralıkları ve bu aralıklarla yapılacak işlemler için evrensel kümenin gerçek sayılar kümesi olduğu belirtilir. Ayrıca mutlak değer kavramından hareketle bir aralığın gösteriminde mutlak değer sembolünün nasıl kullanılabileceği tartışılır. Örneğin 2 < x < 4 eşitsizliklerini sağlayan x gerçek sayıları için |x – 3| < 1 şeklindeki gösterimin anlamı, gerçek yaşam durumu bağlamları da dikkate alınarak sayı doğrusu üzerinde tartışılabilir. MAT.9.1.1 ve MAT.9.1.2 çıktılarına yönelik olarak gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimlerinin, gerçek sayı aralıklarının ve bunlarla yapılan işlemlerin farklı matematiksel bağlamlarda ele alındığı performans görevi verilebilir.

MAT.9.1.3
Farklı sayı kümelerinin tarihî bağlamda nasıl ortaya çıkmış olabileceği tartışılır (E1.1,SDB2.2). Sayı kümelerine duyulan ihtiyacı anlamlandırmaya dönük gerçek yaşam durumları ile bağlantılı örnekler üzerinde durulur. Örneğin fizikteki hız büyüklüğü ya da yer çekimi kuvveti büyüklüğü gibi nicelikler, gerçek sayıların kullanımı bağlamında ele alınır. Öğrencilerden sayı kümelerinin sıralı olma, arada olma (bir sayı kümesindeki herhangi iki sayı arasında aynı sayı kümesinden başka bir sayının yer alabilmesi) ve işlem özellikleri (bir sayı kümesindeki herhangi iki sayı ile yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucunun aynı sayı kümesinde olması) hakkında varsayımlar geliştirmesi istenir. Bir işlem özelliğinin hangi sayı kümeleri için geçerli olduğunu, hangileri için geçerli olmadığını belirlemeleri istenir. Örneğin herhangi iki doğal sayının toplanması durumunda elde edilen sonucun bir doğal sayı olup olmadığı ve bu özelliğin başka hangi sayı kümelerinde geçerli olduğu tartışılır. Benzer şekilde iki tam sayının farkının alınması durumunda elde edilen sonucun her zaman bir tam sayı olup olmayacağı tartışılır. Öğrencilerden bu özelliklere dayalı genellemeler yapmaları beklenir ("∀a, b ∈ ℝ için a ∙ b ∈ ℝ olduğundan gerçek sayılar kümesi, çarpma işlemine göre kapalıdır." gibi). Genellemeye ulaşılan temel durumlar için cebirsel ispatlara (“İki rasyonel sayı arasında her zaman bir rasyonel sayı vardır.” önermesi gibi) yer verilir. Genellenemeyen durumlar veya yanlış önermeler için (“İki irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.” önermesi gibi) öğrencilerin karşıt örnek sunmaları beklenir. Elde edilen önermelerin doğruluğu, doğrudan ispat veya aksine örnek verme yöntemleri kullanılarak kontrol edilir. İspatlar yapılırken hipotez-hüküm ilişkisi, hipotezden hükme giden süreç, aksine örnek verebilmenin matematiksel doğrulama ve ispattaki önemi üzerinde durularak ispatlar değerlendirilir. Öğrencilere sayı kümelerinin özellikleri ve aralarındaki ilişkilere dair çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.9.1.4
Önerme kavramı, matematiksel örnekler üzerinde incelenir. Sözel dille verilen önermeleri sembolik dille, sembolik dille verilen önermeleri sözel dille ifade etmeye yönelik çalışmalar yapılır. Sayı kümelerinde toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin değişme, birleşme, birim eleman, yutan eleman, ters eleman ve dağılma özelliklerinin olup olmadığına dair önermeler sözel ve sembolik dil ile ifade edilir. Sayı kümeleri veya aralıklarına ilişkin önermeler hakkında öğrencilerin değerlendirme yapabilmeleri için niceleyicilerin (her, bazı), mantık bağlaçlarının (ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak) kullanımlarına ve önermelerin değillerine yer verilerek anlamları tartışılır. Örneğin “∀a, b ∈ ℝ için a+b= b+a”, “∀a ∈ ℝ, a ≠ 0 için ∃b ∈ ℝ vardır, öyle ki a ∙ b= 1՚dir.”, “∀a, b ∈ ℝ için a<b ⇒b - a> 0’ dır.”, “a, b ∈ ℝ olmak üzere a ∙ b= 0 ⇔ a = 0 v b = 0’ dır.”, “a, b ∈ ℝ olmak üzere a ∙ b ≠ 0 ⟺ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0՚dır.” gibi önermelerde mantık bağlaçları ve niceleyicilerin anlamları üzerine tartışmalar yapılır. Bu sırada öğrencilerin birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1). Ayrıca işlemler arasında kurulan ilişkiler gözlemlenir. Yapılan inceleme ve gözlemler sonucunda gerçek sayılardaki özelliklerin cebirsel ifadelerdeki karşılıkları tespit edilir. İki gerçek sayının farklı gösterimlerinin ve iki farklı cebirsel ifadenin birbirine eşit olabileceğinden yola çıkılarak özdeşlikler (iki terimin toplamının/farkının karesi ve iki terimin karelerinin farkı) belirlenir. Bu özdeşlikler, geometrik modellerle temsil edilir. Benzer şekilde öğrencilerin iki cebirsel ifadenin çarpımının sıfıra eşit olmasının ifadelerden en az birinin sıfıra eşit olmasını gerektireceği gibi çıkarımlara ulaşmaları beklenir.

Aynı zamanda cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmanın, sayıların işlem özelliklerinin bir uygulaması olarak ele alındığı çalışmalar yapılır. Üslü veya köklü gösterimlerle işlemler içeren problemlerde farklı çözüm stratejisi olarak özdeşliklerden yararlanmayı gerektiren durumlara yer verilir (MAB2). Öğrencilere sayı kümelerinin işlem özelliklerine yönelik önermelerden ve cebirsel özdeşliklerin kullanımına yönelik sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir.

(*) Öğrencilere astronomi (gezegenlerin birbirine uzaklığı), biyoloji (hücre, organel yapısı), fizik (gezegenlerin çekim kuvveti), kimya (Avogadro sayısı) gibi farklı disiplinlerde geçen matematiksel temsillerin incelenmesi, yorumlanması ve bilimsel gösterimle ifade edilmesine yönelik sunumlar yaptırılır.

(*) Öğrencilerden gerçek sayılar kümesinin tamlık ve sıralama özellikleri ile ilgili araştırma yapmaları istenir. İş birlikli öğrenme temelinde üslü ve köklü gösterimlerde karşılaşılan tanımsız olma durumunun nedenlerinin tartışıldığı grup çalışması yaptırılır.

Bilimsel gösterimlerin kullanımına yönelik örnek veya problemlerde hesap makinelerinden veya çevrim içi araçlardan yararlanılır. Ondalık, üslü ve köklü gösterimlerle ilgili özelliklere ulaşılamadığı durumlarda öğrencilerden sayısal örnekler kullanarak sadece o sayılara yönelik doğrulamalar yapmaları istenir. Öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınıp bilimsel gösterimle ilgili örnekler çeşitlendirilerek konuya karşı olan ilgi ve motivasyonlarının artırılması hedeflenir.

SDB2.2. İş Birliği, SDB3.2. Esneklik

D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf, D20. Yardımseverlik

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, 0B7. Veri Okuryazarlığı

Öğrencilerin doğru orantılı iki çokluk arasındaki ilişkiyi fonksiyon olarak ifade edebildiği; doğrusal ilişkili iki değişkenin birbirine bağlı değişimlerini, artış veya azalışlarını fark edebildiği; dik koordinat sistemini tanıdığı; sıralı ikilileri bu sistemde gösterebildiği ve bir cebirsel ifadenin değerini değişkenin alacağı farklı sayı değerleri için hesaplayabildiği kabul edilmektedir. Ayrıca öğrencilerin dik koordinat sisteminde verilen doğrusal fonksiyon grafiklerinin birbirine göre konumlarını doğruların eğimlerine göre yorumlayabildiği, bir gerçek sayının mutlak değerini sayı doğrusunda orijine olan uzaklığı olarak ifade edebildiği, doğrusal ilişkili iki niceliğe ait cebirsel ifadede bir niceliğin değeri verildiğinde diğerinin değerini hesaplayabildiği kabul edilmektedir.

Doğrusal ilişkileri belirleyebildiklerini değerlendirebilmek için öğrencilere gerçek yaşam durumundan örnekler inceletilebilir veya doğrusal ilişki içeren eğitici oyunlar oynatılabilir. Öğrencilerin dik koordinat sisteminin özelliklerine dair ön bilgilerini, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik çözümleri, doğrusal fonksiyonlar ve bu fonksiyonların matematiksel temsilleri ile ilgili sahip oldukları bilgi ve beceri düzeylerini, olası kavram yanılgılarını, ilgi ve ihtiyaçlarını tespit etmek için öğrencilere hazır bulunuşluk testleri yapılabilir. Bu bilgi ve becerileri doğru bir şekilde belirleyebilmek için açık uçlu sorular, soru cevap tekniği ile uygulanabilir.

Öğrencilere önceki öğrenmelerine dayanarak fikir yürütmeleri mümkün olan doğru, doğrunun eğimi, doğrusal ilişki, doğrusallık ve mutlak değer kavramlarına dair sorular sorulur. Ardından sıcaklık değişimi, ücret tarifeleri gibi gerçek yaşam durumlarının grafik temsilleri incelenir. Öğrencilerin temada yer alan konulara ilgi duymalarını sağlamak için 8. sınıfta yer verilen doğrusal fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri arasındaki ilişkiler gerçek yaşam bağlamlarında incelenebilir.

MAT.9.2.1
Fonksiyon kavramının ve fonksiyonlara ilişkin temel özelliklerin keyfî kümeler üzerinden soyut bir yaklaşımla tanımlanması yerine 8. sınıfta yer verilen doğrusal fonksiyonların dik koordinat sistemindeki grafiklerinden ve gerçek yaşam durumlarından hareket edilir. Doğrusal referans fonksiyonun farklı matematiksel temsilleri (grafik, cebirsel gibi) arasındaki ilişkilere dayalı olarak öğrencilerin bu referans fonksiyonu anlamlandırmaları sağlanır (MAB3). Doğrusal referans fonksiyonun bağımlı-bağımsız değişkeni, tanım kümesi, görüntü kümesi, tanımlı olduğu aralıklara bağlı olarak fonksiyonun işareti, maksimum-minimum noktaları, artanlığı-azalanlığı, sıfırı ve bire birliği öğrencilerle beraber incelenir. Yeterli çeşitlilikte örnek durum incelemek mümkün olmayacağından doğrusal fonksiyonlarda örtenlik ve teklik-çiftlik nitel özelliklerine değinilmez.

Öğrencilerin gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonun grafik temsili üzerinde gerçekleştirilecek dönüşümler yoluyla gerçek sayılarda g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k, (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonların grafik ve cebirsel temsiline ulaşmaları sağlanır. Dönüşümler yapılırken k ve r değerlerinin her ikisinin veya birinin 0 olduğu durumlar aşamalı olarak ele alınır. Öğrencilerin grafik temsilleri ile cebirsel temsillerdeki katsayıların ilişkilerini yorumlamaları sağlanır. Elde edilen doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımda bulunabilmeleri için öğrencilere fırsat verilir. Bu amaçla farklı a, k katsayıları için fonksiyonun grafiğinin eğimini, grafiğinin eksenleri kestiği noktaları ve iki farklı doğrusal fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarını tahmin etmeleri sağlanır. Özel olarak a = 0 olduğunda fonksiyonun sabit fonksiyon olarak adlandırıldığına yer verilir. Böylelikle sabit fonksiyonun cebirsel temsili, doğrusal fonksiyonun sabit terimi ile ilişkilendirilir. Öğrencilerin dijital öğrenme araçlarını kullanma becerilerini geliştirmek için matematik yazılımlarını veya diğer çevrim içi araçları etkin şekilde kullanmaları sağlanır (OB2, MAB5). Öğrencilere doğrusal referans fonksiyonun grafik temsiline uygulanan dönüşümler ve fonksiyonun cebirsel temsilindeki değişimine yönelik inceleme içeren performans görevi verilebilir. Öğrencilerin performans görevini zamanında ve eksiksiz olarak teslim etmeleri beklenir. Böylece sorumluluk değerini kazanmaları desteklenir (D16.3).

Öğrencilerin elde ettikleri varsayımlarını doğrusal fonksiyonun katsayılarının değerlerine göre genellemeleri ve genellemelerini kontrol etmeleri sağlanır. Öğrencilerin genelledikleri her varsayımdan yola çıkarak fonksiyonun katsayıları ile fonksiyonun niteliği arasındaki ilişkiler hakkında önermelerde bulunmaları beklenir. Gerçek sayıların bir alt aralığında tanımlı doğrusal fonksiyonların maksimum-minimum değerini belirleme uygulamalarında aralığın açık aralık olması durumunun öğrenciler tarafından yorumlanması beklenir. Diğer nitel özelliklerin yanı sıra öğrencilerin fonksiyonun sıfırını ve tanımlı olduğu aralıklara bağlı olarak fonksiyonun işaretini de doğrusal fonksiyonların cebirsel ve grafiksel özellikleri bağlamında fonksiyonun bir özelliği olarak incelemeleri ve bu özelliklere yönelik önermelere ulaşmaları sağlanır. Gerçek sayılarda f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı fonksiyonun işareti incelenirken hem grafik temsilinden hem de x = -b/a noktasına göre ayrılmış işaret tablosundan yararlanılır. Bu önermelerde sembolik dil ve niceleyicilerin uygun biçimde kullanılması beklenir (a, b ∈ ℝ ve ∀ a > 0 için gerçek sayılarda f(x) = ax + b şeklinde tanımlı fonksiyon artandır.” gibi). Ardından doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili ulaşılan önermeler, kullanışlılık açısından değerlendirilir (belli bir açılış ücreti ile başlayan taksi ücretinin yola bağlı değişiminin fonksiyonun artanlığı ile ilişkilendirilmesi gibi). Ayrıca gerçek sayılar kümesinin aralıklara ayrılması ile her aralıkta başka bir doğrusal fonksiyonun tanımlı olduğu parçalı gösterimli fonksiyon elde edilir. Fonksiyonun parçalı gösteriminin anlamlandırılması için gerçek yaşam durumları incelenir. Örneğin kimya disiplini bağlamında ısıtılan bir buz kütlesinin sıcaklık değişimine ilişkin bir deneyin zamana bağlı sıcaklık verileri incelenir (OB7). Bu veriler elektronik tablolara yansıtılarak oluşan fonksiyonun grafiği incelenir ve bu grafiğe ilişkin elde edilen parçalı gösterimli fonksiyonun cebirsel temsili yapılır (MAB4, MAB5).

Sunulan her bir önerme için matematiksel doğrulama veya ispat sürecine gidilir. Doğrusal fonksiyonların matematiksel temsilleri, grafik dönüşüm süreçleri ve nitel özellikleri hakkında elde edilen önermelere ilişkin nasıl matematiksel doğrulama yapılabileceği sınıfça tartışılır. Yapılan matematiksel doğrulamalar öncelikle öğrenciler tarafından çözümlenir ve sonrasında kendi başlarına matematiksel doğrulama yapabilmeleri için öğrencilere fırsatlar tanınır (E3.11). Örneğin gerçek sayılarda f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonda a > 0 veya a < 0 olması durumunun fonksiyonun artanlığı-azalanlığı ile ilişkisi, tablo ve grafik temsilleri kullanılarak öğrenciler tarafından doğrulanır. Benzer şekilde ulaşılan önermelerden bazıları, nitel özelliklerin tanımlarından hareketle öğrenciler tarafından cebirsel olarak ispatlanır. Örneğin artanlığa ilişkin teorem (∀ a > 0 için gerçek sayılarda f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ) şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonlar artandır.) ile  gerçek sayıları için iken dir.” ifadesi arasında ilişki kurulur ve teoremin ispatı bu ifadeye dayalı olarak yapılır. Böylece muhakeme süreci, matematiğin sembolik dili ve niceleyicilerle desteklenir. Doğrusal fonksiyonların tüm nitelikleri için matematiksel doğrulamalar ve bazıları için (artanlık-azalanlık, bire birlik) ispatlar yapıldıktan sonra öğrencilerin doğrulama ve ispat için başvurdukları cebirsel ve grafiksel yöntemleri farklı durumlarda nasıl kullanabileceklerini ve bu yöntemlerin kullanışlılıklarını değerlendirmeleri sağlanır. Doğrusal fonksiyonların nitel özellikleriyle matematiksel temsilleri arasında kurulan ilişkilere yönelik matematiksel doğrulama yapmaları için öğrencilere çalışma kâğıdı verilebilir. Grafik ya da cebirsel temsili verilen bir doğrusal fonksiyona uygulanan dönüşümleri ve doğrusal fonksiyonların nitel özelliklerini içeren performans görevi verilebilir.

MAT.9.2.2
Gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı referans fonksiyonun nitel özellikleri dikkate alınarak gerçek sayılarda g(x) = ± |x| şeklinde tanımlı fonksiyonun grafik temsili incelenir. İki fonksiyon arasındaki benzerlikler ve farklılıklar tespit edilir. g(x) = ± |x| fonksiyonunun cebirsel temsili olarak fonksiyonun parçalı gösterimine yer verilir. Bu incelemenin ardından bir h doğrusal fonksiyonu ile gerçek sayılarda k(x) = ± |h(x)| ± c ( c∈ℝ) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun cebirsel ve grafiksel ilişkileri incelenir. Burada fonksiyonların nitel özellikleri arasındaki farklılıklara odaklanılır. Özel olarak gerçek sayılarda tanımlı,cebirsel temsili t(x) = ± |ax + b| (a, b ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde verilen fonksiyonun sıfırı ile grafik temsili arasındaki ilişki gözlemlenir. Yapılan inceleme ve gözlemler sonucu fonksiyona ait nitel özellikler belirlenir. Belirlenen nitel özelliklere ilişkin önermeler, sözel olarak ifade edilir. Ayrıca öğrencilerin bir h doğrusal fonksiyonunun sıfırı ile grafik temsili arasındaki gözlemlerinden gerçek sayılarda k(x) = ± |h(x)| ± c (c∈ℝ) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun farklı bir cebirsel temsili olarak parçalı gösterimine dair çıkarımlar (iki farklı doğrusal fonksiyonun cebirsel temsilinin tek bir cebirsel temsille ifade edilebilmesi gibi) yapmaları beklenir (MAB3). Öğrencilere gerçek yaşam durumlarında mutlak değer fonksiyonu ile modellenebilen örneklerin belirlenmesine yönelik bir araştırma ödevi verilebilir.
MAT.9.2.3
Gerçek yaşam bağlamlarında sunulan problemler, cebirsel veya grafik olarak temsil edilir (MAB3). Problemlerdeki sözel, cebirsel veya grafik temsillerinden hareketle, f ve g doğrusal fonksiyonlar olmak üzere, f(x)=g(x), f(x)≤g(x), f(x)≥g(x), f(x)=0, f(x)<0, f(x)>0, |f(x)|=g(x), |f(x)|≥g(x), |f(x)|<0, |f(x)|>0, |f(x)|=0, |f(x)|<k, |f(x)|>k, |f(x)|=k (k∈ℝ) biçimindeki denklem ve eşitsizlikler; cebirsel veya grafik olarak elde edilir. Bu denklem ve eşitsizliklerin matematiksel bileşenleri ve aralarındaki ilişkiler belirlenir (E3.6, E3.7). Öğrencilerden bu denklem ve eşitsizliklerin matematiksel temsilleri arasında geçişler yapmaları beklenir. Bu geçişlerde öğrencilerin problemin olası çözümü hakkında grafikten bir yorum elde edebilmeleri ve cebirsel işlemler için bir strateji belirlemeleri hedeflenir. Örneğin gerçek sayılarda f(x) = ax + b (a, b ∈ ℝ, a≠0) şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun grafiği ile f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm aralığı arasında ilişki kurulabilmesi için x = - b/a kök değerine göre ayrılmış bir işaret tablosu kullanılır. Bu temsiller arası geçişin gösterilebilmesi için elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, MAB5). Özel olarak f(x) < 0 şeklindeki bir eşitsizliğin f(x) < g(x) şeklindeki eşitsizliklerin özel bir hâli (g(x) = 0) olduğunu ve grafik temsilinde g fonksiyonunun grafiğinin x ekseni ile temsil edildiğini öğrencilerin fark etmeleri sağlanır. Bunun için g fonksiyonunun tanım kümesindeki her x = a gerçek sayısının görüntüsünün y = 0 olduğu ve bu durumun dik koordinat sisteminde (a, 0) şeklinde temsil edildiği yorumuna ulaşmaları sağlanır. Doğrusal fonksiyonlardan elde edilen denklem ve eşitsizlikleri kullanmayı gerektiren gerçek yaşam durumlarındaki sözel temsillerin matematiksel temsillere dönüştürülebilmesine yönelik açık uçlu sorular sorulur. Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktaları ile fonksiyonların birbirine eşitlenmesi sonucu elde edilen denklemlerin çözüm kümesi arasındaki ilişki incelenir. Bunun için cebirsel ve grafik temsiller arası ilişkilere analitik bir bakış açısıyla sistematik bir şekilde yer verilir (E3.6, E3.7).

Öğrencilerin incelenen denklem ve eşitsizliklerin çözümlerine ulaşabilmek için grafiksel ve cebirsel yaklaşımlara dayalı çözüm stratejileri geliştirmeleri sağlanır. Problem durumuna uygun bir strateji seçilerek denklem veya eşitsizliğin çözüm kümesi, fonksiyonun sıfırı ile ilişkilendirilerek elde edilir. Matematiksel araç ve teknolojilerden, denklem ve eşitsizliklerin grafik gösterimlerinden ve yerine koyma yönteminden yararlanılarak elde edilen çözüm kümelerinin doğruluğuna ilişkin değerlendirmeler yapılır. Bu noktada çözümler, farklı bir stratejiyle kontrol edilerek olası hatalar düzeltilir (SDB3.2, MAB5).

Öğrencilerin incelenen denklem ve eşitsizliklerin çözümlerinde olası çözüm stratejilerinin neler olabileceğini tartışmaları sağlanır. Özellikle gerçek yaşam durumlarını içeren problemlerde bu tür denklem ve eşitsizliklerin çözümünü sağlayan stratejiler gözden geçirilir. Kullanılan gerçek yaşam problemlerinin ekonomi, fizik gibi disiplinlerle ilişkili olmasına ve toplumsal yarara vurgu yapmasına özen gösterilir (D20.2). Örneğin üretilen/talep edilen ürün miktarının bağımsız değişken, ürün fiyatının bağımlı değişken olarak kabul edildiği arz-talep doğrularında piyasa denge fiyatını bulmak için neler yapılabileceği sorgulanır (OB3, D17.3). Buradan hareketle öğrencilerden ortak çözüm kümesinin bulunmasına yönelik stratejiler geliştirmeleri beklenir. Çözüme ulaştıran stratejilere ilişkin çıkarımlar yapmaları sağlanır. Yapılan çıkarımlar, benzer problem durumlarında kullanılmak üzere matematiksel bir modele dönüştürülür. Bu matematiksel modellemeler toplumsal fayda sağlayacak durumlar üzerinden (ekoloji, sağlıklı aşam gibi) geliştirilebilir (D16.2).Matematiksel bir model ortaya koymaya yönelik, iş birlikli öğrenmeyi hedefleyen grup içi çalışmalar desteklenir (SDB2.2). Tüm bu süreçlerde elde edilen matematiksel modellerin sınırlılıkları, güçlü ve zayıf yönleri; bu denklem ve eşitsizliklerin çözümleri bağlamında değerlendirilir. Öğrencilere denklem ve eşitsizlikler içeren problem çözmelerine yönelik performans görevi ve proje ödevi verilebilir.

(*) Doğrusal fonksiyonların grafikle gösteriminde etkileşimli çevrim içi uygulamalara (oyunlar, bilgi yarışmaları, grafik çizim programları), animasyonlara, somut materyal kullanımına ve elektronik tablolara dayalı farklı etkinliklere yer verilir. Öğrencilere doğrusal fonksiyonları cebirsel olarak ifade edebilme, grafik temsillerini ortaya koyabilme ve yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır. İş birlikli öğrenme temelinde öğrencilere gerçek yaşam durumlarında doğrusal ilişkileri tartışabileceği, grafik yorumlarını yapabileceği grup çalışmaları, ortak sunumlar ve projeler yaptırılır. Bilgisayar bilimleri, ekonomi, fizik, kimya gibi farklı disiplinlerde geçen doğrusal ilişkili durumların keşfedilmesine ve bu durumların matematiksel temsillerle ilişkilendirilmesine yönelik görevler verilir. (*) Benzer şekilde doğrusal fonksiyonlar veya mutlak değer fonksiyonlarına ilişkin bilgi ve becerilerini kullanabilecekleri (elektronik tablo hazırlama, sözde kod yazma, matematik yazılım programları kullanma gibi) farklı uygulamalar yaptırılır.

Doğrusal fonksiyonların temellendirilmesinde önemli yer tutan doğrusal ilişkiler ve dik koordinat sisteminde gösterimler üzerinde durulur. Doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumu örnekleri, öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır. Gerçek yaşam örneklerinden hareket edildiğinde bağımlı-bağımsız değişken kavramları ve doğrusal fonksiyonun cebirsel gösterimi daha kolay anlamlandırılır.

f(x) = ax ± b (a, b∈ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonların ve f(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonlarının nitel özellikleri ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur ve öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

SDB3.2. Esneklik

D8. Mahremiyet, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf, D18. Temizlik

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin tek, çift ve ardışık tam sayıları bildiği; bir doğal sayının asal olup olmadığını ve asal çarpanlarını belirleyebildiği; bir doğal sayıyı basamak değerlerine göre çözümleyebildiği; bir doğal sayının çarpanlarını ve katlarını belirleyebildiği; bölünen, bölen, bölüm ve kalan kavramlarını bildiği; iki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirleyebildiği; mantık bağlaçları ile niceleyicileri bildiği ve doğrusal fonksiyonları tanıdığı kabul edilmektedir. Ayrıca öğrencilerin aritmetik ve cebirsel işlemler içeren bir problem durumunun aşamalarını algoritmik olarak (doğal dil, akış şeması ya da sözde kod) ifade edebildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin doğal sayıların ve tam sayıların özellikleri, bölme algoritması ve doğal sayılarda bölünebilme ile ilgili bilgi ve becerilerinin belirlenebilmesi için soru cevap tekniği uygulanır. Gerçek yaşam durumu problemleri üzerinden algoritma dilinin kullanımı ile ilgili ön bilgilerin ve ihtiyaçların tespit edilmesine yönelik çalışmalar yapılır. Ayrıca öğrencilere sözel matematik önermelerini mantık bağlaçları ve niceleyiciler kullanarak ifade etmelerine yönelik açık uçlu sorular sorulur.

Öğrencilerin algoritma hakkındaki bilgilerini ve düşüncelerini ortaya çıkarmak için bilişim ve iletişim alanlarındaki günümüz teknolojik gelişmeleri bağlamında sınıf içi tartışma yapılır. Bilişim teknolojilerinin temelinde yatan matematiksel fikirlerin neler olduğu, algoritmanın önemi, işlevi ve matematikle olan ilişkisi hakkında bir sunum yapılır. Bu şekilde öğrencilerin teknolojide dünyayı etkileyen yeni gelişmelerin (programlama dilleri, makine öğrenmesi, yapay zekâ gibi) arkasında yatan matematiği fark etmeleri sağlanır. Akış şemalarının farklı alanlarda kullanımına yönelik örneklere yer verilir. Bu bağlamda sibernetik alanında Cezeri’nin çalışmaları örnek gösterilir. Euler’in (Öyler) Königsberg (Könisberk) köprüsü problemi tarihî bağlamı ile birlikte tanıtılarak öğrencilerin probleme dair fikir üretmeleri beklenebilir. Gerçek yaşam durumlarında özel bilgilerin şifrelenerek korunmasının algoritmayla nasıl mümkün olabileceği sorgulanır. Ulusal güvenlik açısından şifreleme teknolojileri ve siber güvenlik sistemlerinde (kimlik ve erişim yönetimi, bulut güvenliği gibi) ülkemizin gelişmesinin önemi vurgulanır.

MAT.9.3.1
Ortaokulda önce işlemleri, ardından cebirsel ifadeleri algoritmik bir dille ifade etmeyi öğrenen, algoritma oluşturma süreçlerinin gerektirdiği sistematik ve mantıksal düşünmeyi deneyimleyen öğrencilerin bu sınıf seviyesinde algoritmik düşünme temelli problem çözebilmeleri beklenmektedir. Algoritma kelimesinin kökeni tartışılır ve kelimenin Batı dillerine Harizmi'nin isminin okunuşundan geçtiğine yer verilir. Böylece öğrencilerin kültürel mirasa yönelik duyarlı olmaları sağlanır.

Verilen bir görevin ya da problemin matematiksel temsili için liste, tablo, çizge, akış şeması oluşturma ile algoritmik doğal dil veya sözde kod yazma yöntemlerinden uygun olanlar belirlenir (MAB3). Problem durumlarında verilen çizge, şifrelenmiş metin, kod öbeği gibi temsiller ile algoritma arasında ilişkiler kurulur. Örneğin periyodik durumlar içeren (nöbet tutma gibi) doğal sayı problemleri, asal çarpanlara ayırma, verilen iki sayının aralarında asal olup olmadığını belirleme, ilk 100 doğal sayı içinden asal olanları tespit etme (Eratosthenes kalburu), bölme algoritması, bilinen bölünebilme kurallarını algoritmik dille ifade etme gibi görevlere yer verilir. Ayrıca en az deneme yaparak çözüm bulmayı gerektiren ve arama algoritmalarının uygulaması olan problemler (aynı ebatlara sahip n tane madenî para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesini en az tartımla bulma ya da akıldan tutulan bir doğal sayıyı cevabı evet/hayır olan en az sayıda soru ile bulma gibi) ele alınır.

Bilgi teknolojileri ve iletişimde mesajları şifrelemek için algoritmaların nasıl kullanılabileceği sorgulanır; metinlere, sayılara veya sembollere verilen sayısal değerlerle ikili sisteme (binary) dönüştürülmesi bir şifreleme örneği olarak ele alınır (E1.1, E3.11). Çizge kuramının temel kavramları olarak ayrıt (çizgi) ve düğüm (nokta) açıklandıktan sonra (çizge kuramı ile ilgili teoremlere girilmeden ve çizge sınıflandırmaları yapılmadan) öğrencilerin çizgelerin matematiksel problem çözmede etkili bir araç olarak nasıl kullanılabileceğine yönelik fikir geliştirmesi sağlanır. Köprü kurmada incelenen Königsberg köprüsü probleminden hareketle köprüler ayrıt, bölgeler düğüm kabul edilerek problem; bir çizge şeması ile temsil edilir. El kaldırmadan çizilen şekiller, şehirleri birbirine bağlayan en kısa yol, tokalaşma sayısı, sosyal ağlarda bilginin yayılımı gibi problemlerde farklı bir çözüm yolu olarak çizgelerin kullanılabileceği gösterilir (SDB3.2). Ayrıca bilgisayar bilimlerinin temelinde yer alan ve çeşitli programlama dilleri kullanılarak yazılan kodların tümünün algoritmalardan oluştuğuna ilişkin basit örnekler incelenir (MAB3). Sıkça kullanılan, bilinen program ya da uygulamaların algoritmalarını (akış şemaları ya da sözde kodlarını) incelemek için araştırma ödevi verilebilir.

Algoritma diline ait yapıların (doğal dil, akış şeması, sözde kod) problem durumlarında nasıl kullanılacağı belirlenir. Örneğin verilen bir doğrusal fonksiyonun sıfırını bulmayı sağlayan algoritmanın nasıl olabileceği tartışılır. Karşılaşılan problem durumlarındaki sözel, görsel veya cebirsel temsillerin algoritmik bir dile dönüştürülebilmesinde işlem adımlarının takip edilmesi üzerinde durulur (MAB3). Bir gerçek yaşam problemine çözüm getiren basit bazı programların (kilo ve boy bilgileri girildiğinde vücut kitle indeksinin hesaplanması gibi) algoritmasını yazma (doğal dil ya da akış şeması) veya verilen bir algoritmanın hangi problemin çözümü olduğunu belirleme çalışmalarına yer verilir. Oluşturulan algoritmaların geçerliliği, algoritmaya girilen değerlerden elde edilen çıktıların bir tabloya aktarılarak değerlendirildiği algoritma testiyle sınanır. Benzer şekilde şifreleme ve çizge içeren problemlerdeki algoritma örnekleri incelenir. Bilgisayar bilimlerinde sıkça kullanılan algoritmaların (sıralama, arama algoritmaları gibi) çözümlenmesine yönelik araştırma ödevi verilebilir.

Karşılaşılan problem durumları algoritmik bir dile dönüştürülerek probleme dair bir çözüm stratejisi elde edilir. Örneğin şifrelenmiş bir metnin hangi kural kullanılarak şifrelendiğini saptayabilmek veya belirli sayıda kişiden oluşan bir grupta herkesin birbiri ile tokalaşması durumunda toplam tokalaşma sayısını tespit edebilmek için algoritma oluşturulur. Oluşturulan algoritma, problemin nasıl çözülebileceğine dair stratejiyi içerir. Bir gerçek yaşam durumundan hareketle [daha temiz bir çevreye sahip olmak amacıyla (D18.3) her gün çalışan bir çöp arabasının yakıt tüketimini azaltmak için (D17.3) şehrin sokaklarını en kısa yoldan dolaşabilmesi gibi] çözüm için bir çizge tasarlanır. Tasarlanan çizgelerle elde edilen sonuçlar tartışılır. Algoritma temelli oluşturulan çözüm stratejisi uygun şekilde kullanılarak problemin çözümü sağlanır. Öğrencilere akış şeması okuma ve yazma, sözde kod okuma ve yazma veya çizge oluşturma yöntemlerini kullanmayı gerektiren problemlerin yer aldığı çalışma kâğıtları verilir. Çözülen problem, başka algoritmalar kullanılarak veya kullanılmadan (örneğin matematiksel araç ve teknolojiden yararlanılarak) tekrar çözülür ve önceki adımda elde edilen çözümün doğruluğu kontrol edilir. Matematiksel araç ve teknolojiyi kullanırken dijital kaynakları belirleme ve bu kaynakları kullanarak dijital yetkinlikleri güncelleme gibi beceriler işe koşulur (MAB5, OB2).

İncelenen problemin algoritma temelli olan veya olmayan olası tüm çözüm stratejileri ele alınır. Örneğin sözel bir problemin çözümü, hem çizge şeması oluşturularak hem de tablo kullanılarak yapılır (MAB3). Bu şekilde algoritma temelli çözümlerin diğer çözümlerden farklı yönleri saptanır. Mevcut problemin algoritma temelli çözümlerinden yararlanılarak çıkarımlar yapılır. Elde edilen bu çıkarımlar, problemlerin çözümündeki kullanışlılığı açısından değerlendirilir. Öğrencilere kişisel bilgilerin korunmasıyla ilgili olarak bilişim sistemlerinde kullanılan şifreleme algoritmaları hakkında araştırma yaptırılır (D8.2). Öğrencilerden görevi zamanında ve eksiksiz tamamlamaları beklenir. Böylece öğrencilerin sorumluluk değerini kazanmaları desteklenir (D16.3). Öğrencilere programlama dillerindeki kodlamalarda yer alan algoritmaların çözümlenmesine ve akış şemalarının oluşturulmasına yönelik performans görevi verilebilir.

MAT.9.3.2
Gerçek yaşam durumlarında ve sözel problem metinlerinde (nesneleri/kişileri iki ya da üç özelliğe göre sınıflandırmayı içeren problemler, çizge veya şifreleme içeren problemler gibi) geçen önermelerdeki mantık bağlaçları (ve, veya, ya da, ise) ve niceleyicilerin (her, bazı) anlamları değerlendirilir. Problem durumlarında yer alan bu mantık bağlaçları ve niceleyicilerin anlamları belirlenir. Öğrencilerin algoritma temelli problemlerde mantık bağlaçları ve niceleyicilere olan ihtiyacın sebebini sorgulaması sağlanır. Bu mantık bağlaçları ve niceleyicilerin algoritma temelli problemlerdeki kullanımı ve işlevi, problem çözümlerine ilişkin algoritmik dil (doğal dil, akış şeması ya da sözde kod) oluşturularak belirlenir (OB4). Öğrencilere algoritmik yapılar içindeki mantık bağlaçlarına ve niceleyicilere yönelik çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.9.3.3
İncelenen algoritmalardan hangilerinde mantık bağlaçları ve niceleyicilere ihtiyaç duyulduğu ve bunların nasıl kullanıldığı gözden geçirilir. ''Mantık bağlaçları ve niceleyicilerin farklı kullanım alanları nelerdir?'', ''Mantık bağlaçları ve niceleyicilerin algoritmalarda ne tür işlevleri bulunur?'' gibi sorular sorulur. Bu şekilde mantık bağlaçlarının ve niceleyicilerin hem algoritmalardaki hem de matematiksel doğrulama ve ispat süreçlerindeki önemi üzerine öğrencilerin tartışmaları sağlanır. Basit bir önerme (“Her tek sayının karesi de tektir.” gibi) alınarak bu önermenin doğruluğu, hem algoritma hem de cebirsel ispat adımları ile gösterilir. Bir problemin ve çözümünün, matematiksel bir önermenin ve doğrulama ya da ispat aşamalarının ifade edilmesinde sözel, sembolik ve algoritmik dilin birlikte kullanıldığı uygulamalar yapılır. Böylece mantık bağlaçları ve niceleyicilerin matematiksel dildeki kritik rolünü öğrencilerin fark etmeleri sağlanır. Aynı zamanda mantık bağlaçları ve niceleyicilerin matematiğin sembolik dilinin yalın, kesin ve evrensel bir biçimde oluşumunda önemli bir rolü olduğuna yönelik değerlendirmelerde bulunmaları desteklenir. Öğrencilere algoritmik yapılarda, matematiksel önerme ve ispatlarda kullanılan mantık bağlaçları ve niceleyicilerin anlamlarını çözümleme ve yorumlamaya yönelik çalışma kâğıdı verilebilir.

(*) Verilen iki sayının en büyük ortak bölenini bulma amacıyla bir algoritma oluşturma görevinden hareketle Öklid algoritmasının incelendiği çalışmalara yer verilir. Öz yinelemeli (rekürsif) algoritma örnekleri Öklid algoritması ile ilişkilendirilerek öğrencilerden benzer örneklerin araştırılması istenir. (*) Şifrelenmiş mesaj metinlerinde şifreleme algoritmasının tespitine ve metnin ortaya çıkarılmasına yönelik çalışmalar yapılır. Öğrencilere kriptolojide kullanılan asal sayı test algoritmaları ile ilgili araştırma ödevi verilir.

(*) Öğrencilerden bilgisayar bilimine ait problemlerde kullanılan farklı algoritmaların (sıralama algoritmaları gibi) sağladığı avantajlara yönelik araştırma yapmaları ve sonuçlarını sınıf ortamında paylaşmaları istenir. (*) İkili arama ağacı yöntemini kullanmayı gerektiren problem durumlarına yer verilir.

(*) Farklı problem türlerinden (tokalaşma sayısı, Euler’in köprü problemi gibi) hareketle öğrencilerin çizgelerin kenar ve köşe sayıları arasındaki ilişkiler bağlamında çizge kuramındaki temel kavram ve genellemelere ulaşmaları sağlanır. Örneğin platonik cisimler incelenerek öğrencilerin Euler karakteristiğini keşfetmeleri sağlanır. Çizge ile temsil edilebilecek bir problemde en kısa yolu ya da tam turu bulmak için çeşitli algoritmaların kullanılabileceği farklı örneklere yer verilir. Euler turu, Hamilton (Hemıltın) turu ve gezgin satıcı problemi hakkında öğrencilere araştırma ödevi verilir. Öğrencilerin problem çözümüne yönelik elde ettikleri algoritmaları bildikleri bir programlama diline aktararak bilgisayarda çalıştırmaları sağlanır.

Akış şemaları oluşturulması gerektiren problemlerde adım sayısı daha az olan ve basit algoritmik işlemler içeren problem örnekleri tercih edilir. Benzer şekilde şifre veya ikili sistemde (binary) kod oluşturmada, bunları çözümlemeyi gerektiren problemlerde öğrencilerin bilgi ve beceri düzeylerine göre basitleştirmeler yapılır.

Algoritmaların kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri, öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır. Algoritmaların temsil edilebileceği tangram, sudoku, kakuro gibi somut materyaller kullanılır. Algoritmaları çözümleyebilmeye ve yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır.

Algoritma temelli problemler ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için öğrencilere daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D11. Özgürlük, D14. Saygı, D19. Vatanseverlik

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı

Öğrencilerin nokta, doğru, doğru parçası, ışın ve açıyı gerekli araçlarla oluşturabildikleri; açı çeşitlerine, iki doğrunun kesişimi ile oluşan açılara ve paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılara yönelik çıkarımlar yapabildikleri; üçgen ve temel elemanları ile ilgili muhakeme becerisi bağlamında çözümleme, yorumlama ve çıkarım yapabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere geometrinin temel kavramları, tanımları ve gösterimleri hakkında sorular sorularak öğrencilerin bu kavramlarla ilgili ön bilgileri değerlendirilir. Açı çeşitlerine, iki doğrunun kesişimi ile oluşan açılara ve paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılara yönelik ön bilgileri de değerlendirilir. Öğrencilerin sorulara verdiği cevaplar üzerinden varsa kavram yanılgıları ve yanlış anlamlandırmaları, kullandıkları matematiksel semboller üzerinde durularak tutarlı bilgi, uygun ifade ve gösterimlere sahip olmaları sağlanır. Bu noktada öğrencilerin merakını ve ilgisini çekecek bir yaklaşımla geometrik kavramların önemi bağlamında bir tartışma ortamı oluşturulabilir.

Öğrencilerin üçgenin elemanları ve konuya ilişkin genellemeler ile ilgili bilgilerini açıklarken prototip bir üçgen çizimi yerine farklı türde üçgenlerden de yararlanıp yararlanmadıkları değerlendirilir. Bu süreçte farklı türden üçgenlerden yararlanmanın sağlayacağı farklı bakış açıları ve bunun ulaşılacak çıkarım ve genellemelere etkisi fark ettirilerek öğrencilerin alternatif çözümler üretme ve yeni durumlara uyum sağlama süreçleri aracılığıyla esneklik becerilerinin gelişimi değerlendirilir.

Öğrencilerden bu sınıf seviyesine kadar geometrik nesnelerin özelliklerine yönelik muhakeme becerisi bağlamında işe koştukları çözümleme, yorumlama, çıkarım yapma ve doğrulama becerilerini bu sınıfta ispat yapabilme becerisine dönüştürebilmeleri beklenmektedir. Genelleme yaparak ortaya koydukları önermelerin tüm durumlarda geçerli olduğunu gösterebilmek için öğrencilerin ispata ihtiyaç duyulduğunun farkında olmaları sağlanır.

Ortaokulda düzlemde üçgenin iç açı ölçüleri toplamının 180° olduğunu öğrendikleri için öğrencilere bu özelliğin ispatının nasıl yapılabileceği sorulur. Bu ispatın hangi bilgilere dayandırılabileceği hakkında öğrencilerin görüşleri alınır, ispat için doğruluğundan emin olunan ön bilgilerin önemine vurgu yapılır.

MAT.9.4.1
Öğrencilerden ortaokulda öğrendikleri düzlemde verilen bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamının 180° olduğuna dair bilgilerinin düzlemde verilen bütün üçgenler için doğru olup olmadığını düşünmeleri beklenir. Düzlemde verilen bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğuna dair genellemenin ispata muhtaç olduğunun anlaşılması gerekmektedir. Öğrencilerin bu genellemenin nasıl ispatlanabileceği ile ilgili fikir yürütmesi ve fikirlerini paylaşması sağlanarak gerçeği arama ve bağımsızlık eğilimleri desteklenir (E3.4, E1.2, D11.2). Sonrasında öğrencilerin düzlemde kesişen doğrular ve oluşturdukları açılarla ilgili bilgilerini kullanarak ispat yapmayı denemeleri sağlanır. Öğrencilerden bu ispat için düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel doğru çizilebileceğini düşünmeleri beklenir. Öğrencilerden düzlemde verilen bir üçgenin dış açı ölçülerinin toplamının ne olabileceği ile ilgili çıkarımda bulunmaları da istenir. Bu toplamın 360° olduğuna dair önermenin ispatına yönelik farklı doğrulama ve ispatlar üzerine sınıf içi tartışma yapılır. Yapılacak tartışma etkinlikleri; öğrencilerin etkin dinleme, düşüncelerini saygı çerçevesinde ifade etme, farklı yollarla etkileşim sağlama ve grup iletişimine katılma becerilerinin geliştirilmesine katkı sağlayacaktır (SDB2.1, D14.1). Bu tartışmalar sonrasında öğrencilerin fikirlerine ilişkin değerlendirme yapılarak uygun ispatın kullanılması sağlanır. Öğrencilere önermenin farklı ispatlarının ispat adımları ve gerekçelerinin yer aldığı çalışma kâğıtları verilerek öğrencilerden bırakılan boşlukları doldurmaları istenebilir. Öğrencilerin verilen önermeye ilişkin yaptıkları farklı ispatları karşılaştırmaları sağlanır. Bu ispatlardan yararlanılarak öğrencilerden düzlemde verilen bir üçgende bir dış açının ölçüsünün kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğuna dair önermeyi de ispatlamaları istenir. Bu çalışmalar sırasında öğrencilerden gruplar hâlinde fikir alışverişi yapmaları ve etkileşim içinde olmaları beklenir (SDB2.1, SDB2.2).

Öğrencilerden bu sınıf düzeyinde üçgende açı ve kenar ilişkilerini ifade eden önermeler (“Üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının ölçüsü en büyüktür.” gibi) ile üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden üçgen eşitsizliğini doğrulamaları beklenmektedir. 

Bu genellemelerin doğrulanması hakkında öğrencilerin kendi fikirlerini dile getirmeleri istenir. Öğrencilere yöneltilecek açık uçlu sorular ve öğrenci cevaplarına verilen dönütlerle öğrencilerin fikirlerini geliştirmeleri sağlanır. Farklı doğrulamalar arasından uygun olanı işe koşulur. Öğrenciler, doğrulama yaparken matematiksel araç gereç ya da teknoloji kullanmaları hususunda teşvik edilir (MAB5). Bu çalışmalarla öğrencilerin dijital ortamlar için içerik tasarlama, geliştirme, düzenleme ve paylaşma becerilerinin gelişimi de desteklenecektir (OB2).

Öğrencilerin önermeleri, işe koştukları ispat veya doğrulamaları değerlendirmeleri sağlanır. Bu değerlendirmede öğrencilerden ulaşılan önermeleri, önermelerin ispat ve doğrulamasını geometrik problemler ile gerçek yaşam problemleri (görsel sanatlarda üçgen kullanımı, mimari ve mühendislikte yapıların üçgen formları gibi) bağlamında kullanmaları beklenir (MAB2). Buna yönelik çalışmalarda öğrencilerin farklı problem durumlarında üçgen görsellerini değerlendirirken görselleri anlama, görselleri yorumlama, görseller hakkında eleştirel düşünme, görselleri kullanarak yeni görseller oluşturma becerilerinin gelişimi desteklenir (OB4). Ayrıca öğrencilerin problem durumlarına çözüm bulurken yürütecekleri çalışmalar; probleme ilişkin bilgilerin çözümlenmesini, yorumlanmasını ve sorgulanarak eleştirel bir bakış açısıyla kullanılmasını gerektirir (OB1). Öğrencilere üçgende açı ve kenar özellikleri hakkında yaptıkları doğrulama veya ispatlamaları kullanabilecekleri problem durumları bulmalarını ve bunları çözmelerini gerektirecek bir performans görevi verilebilir.

Geometrinin tarihî süreçte ortaya çıkışı, zamanla kuramsal ve aksiyomatik bir yapı kazanması; öğrencilerin seviyelerine uygun soru, kavram ve açıklamalarla tartışılır. Türk kültür ve medeniyetinde geometrinin tarihî gelişim sürecine katkı sağlamış bilim insanlarından (Ebülvefa Buzcani, Kuşyar bin Lebban, Kadızade-i Rumi, Nasirüddin Tusi) ve yaptıkları çalışmalardan bu çıktıya yönelik olanlar tanıtılır ya da öğrencilerden araştırma yapmaları istenir (OB5, E1.1). Mustafa Kemal Atatürk tarafından 1936-1937 yılları arasında hazırlanmış, bazı geometri terimlerinin bugün kullanılan karşılıklarına yer veren Geometri isimli kitaptan bahsedilerek öğrencilerin millî bilinç sahibi olma, millî kimliğini tanıma ve ülke varlıklarını korumaya yönelik duyarlılıklarının artırılması sağlanır (D19.2).

(*) Doğrulaması yapılan önerme ve teoremlerin ispatlarının nasıl olabileceğine dair fikir yürütmeleri, öğrencilerin eleştirel bakma eğilimlerinin gelişimini sağlayacaktır. Ayrıca öğrencilerden bu tür ispatların nasıl yapılabileceğine dair araştırmalar yapmaları istenir.

(*) Üçgende iç açıların ölçüleri toplamının her durumda 180° olup olmadığına ilişkin araştırma ödevi verilerek Öklid dışı geometriye ilişkin bilgi edinmelerinin sağlanması, öğrencilerin soru sorma eğilimlerini artıracaktır. Öğrencilerden araştırma sürecinde planlı, aktif ve bilimsel bir yaklaşım sergileyerek yeterliliklerini geliştirmeleri beklenir. Öğrencilerin araştırma görevleri sonucunda ürün oluşturmalarına ve ürünü uygun şekilde sunmalarına imkân tanınması, görev bilincine sahip olmalarına ve sorumluluk duygularının gelişimine katkı sağlayacaktır.

Öğrencilerin öncelikle ispatı yapılan önermelerin farklı üçgen çizimleri üzerinden doğrulamalarını yapmaları sağlanır. Daha sonra çeşitli materyaller kullanılarak öğrencilerin ispatları anlamlandırmaları için çalışmalar yapılır. Örneğin kâğıt katlama ya da kesme ile düzlemde üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu gösterilir.

Farklı uzunluktaki üç çubuk veya kalemle üçgen oluşturma şartları incelenir. Benzer şekilde öğrencinin uygulama yapmasına imkân tanıyan etkileşimli içerikler (sanal manipülatifler gibi) kullanılır.

Öğrencilerin ispatlarını ve doğrulamalarını yaptıkları önermelere ilişkin çok adımlı ve karmaşık problem durumlarının çözümlerine geçmeden önce öğrencilere az adımlı çözümler içeren problem durumları sunulur. Öğrencilerin bu problemleri küçük gruplarda tartışarak çözmelerine, arkadaşlarının çözümlerine ilişkin geri bildirimde bulunmalarına imkân tanıyan öğrenme ortamları oluşturulur.

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB2.3. Sosyal Farkındalık, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D3. Çalışkanlık, D7. Estetik, D12. Sabır, D14. Saygı, D19. Vatanseverlik

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı

Öğrencilerin geometrik bir şeklin yansıma ve öteleme dönüşümü altındaki görüntüsüne ilişkin çıkarım yapabildiği, dönüşümleri içeren problemleri çözebildiği, çalışmaları sonucu bir üçgeni oluşturan yeterli eleman ile eşlik koşulları arasındaki ilişkileri belirleyebildiği kabul edilmektedir. Benzer nesneler/şekiller arasındaki ilişkiyi yorumlayabildiği,
çokgenlerin benzerliğini değerlendirebildiği, Pisagor teoremini tamkare uzunlukları hesaplamak için kullanabildiği ve ilgili problemleri çözebildiği kabul edilmektedir.

Ön değerlendirme sürecinde soru cevap tekniği kullanılarak öğrencilerin öteleme ve yansıma dönüşümü, üçgende eşlik ve benzerlik kavramları ile Pisagor teoremine ilişkin bilgileri değerlendirilir. Verdikleri cevaplardan hareketle öğrencilerde görülen eksiklikler ve varsa hatalı anlamalar üzerinde durulur, öğrencilerin bilgilerini doğru anlamlandırmaları ve öğrenme eksikliklerini tamamlamaları sağlanır.

Öğrencilerin bir şekil ve şeklin yansıma, öteleme ve dönme dönüşümü altındaki görüntülerinin bulunduğu örneği incelemesi sağlanarak dönüşümler arasında bir ilişki olup olmadığını sorgulamaları beklenir. Öğrencilerin öteleme ile yansıma ve dönme ile yansıma dönüşümleri arasındaki ilişkileri fark etmeleri amaçlanır. Önceden çıkarımını yaptıkları
benzerlik koşullarını gerçek yaşam problemlerinde nasıl kullanabileceklerine dair farklı fikirlerin/yöntemlerin oluşturulması amaçlanır. Ayrıca Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerine ilişkin önceki sınıflardaki bilgilerine dayalı olarak öğrencilerin bu teoremlerin ispatlarını benzerlik ile ilişkilendirerek yapabilmeleri sağlanır.

MAT.9.5.1
Ortaokulda yansıma ve öteleme dönüşümüyle ilgili çıkarımlarda bulunan öğrencilerin bu dönüşümlerin özelliklerine dair çeşitli örnekler üzerinden bu çıkarımlarını hatırlamaları ve yeni çıkarımlarda bulunmaları sağlanır. Örneğin bir şeklin ve o şeklin bir doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünün bulunduğu örnekler incelenir. Öğrencilerin şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünü karşılaştırmaları sağlanır. Öğrencilerden şeklin değişen ve değişmeyen özelliklerinin neler olduğu hakkında tartışmaları istenir. İncelemeler sonucunda öğrencilerin bu özelliklere ilişkin varsayımlarını belirlemeleri beklenir. Benzer şekilde öteleme dönüşümü ile ilgili örnekler de incelenir ve öğrencilere bu dönüşümün özelliklerine ilişkin varsayımlar oluşturmaları için fırsat verilir. Öğrenciler şekiller ve şekillerin dönüşümler altındaki görüntülerini karşılaştırırken sorularla (“Şekil ile şeklin dönüşümler altındaki görüntüsünün kenar uzunlukları ve çevre uzunlukları eşit midir?” gibi) öğrencilere rehberlik edilmesi önemlidir. Öğrencilerin sundukları varsayımlarla ilgili tartışma yapmaları sağlanarak konuya ilişkin genellemelere ulaşmaları beklenir. Öğrencilerin farklı örnekler üzerinden varsayım ve genellemelerini karşılaştırmaları sağlanır. Sonuçta ulaştıkları genellemeler, önerme (“Bir şeklin bir doğruya göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü ile o şekil eştir.” gibi) olarak ifade edilir. Elde edilen önermelerin değerlendirilmesi yine tartışma yoluyla yapılır. Bu değerlendirmelerde dönüşümler sonrası oluşan görüntülerin baştaki şekle eş olduğu, her bir dönüşüm için vurgulanır. Ayrıca öğrencilerin ortaokulda öğrendiği yansıma ve öteleme dönüşümleri arasındaki ilişkiyi (bir şeklin öteleme dönüşümü altındaki görüntüsünün o şeklin düzlemde paralel iki doğruya göre sırayla iki kez yansıma dönüşümü uygulanmasıyla elde edilmesi gibi) fark etmesi sağlanır. Bu bağlamda dönme dönüşümünün yansıma dönüşümü ile ilişkisi vurgulanır. Öğrencilerin bir şeklin dönme dönüşümü altındaki görüntüsünün o şeklin düzlemde kesişen iki doğruya göre sırayla yansıma dönüşümü uygulanmasıyla elde edildiğine ilişkin çıkarımda bulunmaları sağlanır. Çıkarımların değerlendirilmesi bağlamında dönme dönüşümünün bileşenleri olan dönme merkezi ve dönme açısı açıklanır.

Öğrencilere dönüşümler kullanılarak oluşturulmuş farklı kültürlere ait motif ve süsleme örnekleri verilerek geometrik dönüşümlerin süsleme sanatı, görsel sanatlar ve mimarideki yeri ile ilgili fikirlerini sunmaları sağlanır (OB5). Öğrencilere geometri kullanılarak oluşturulmuş, millî kültüre ait sanat eserlerini ve mimari eserleri görsel yorumlama yöntemiyle incelemesi için fırsat verilir (OB5). Millî kültüre ilişkin bu incelemeler; öğrencilerin kendi millî ve manevi değerlerine duyarlı olmalarına ve saygı duymalarına, kültürel mirasa değer vermelerine katkı sağlayacaktır (D14.3). Sanat eserleri ve mimari eserlere ilişkin tüm bu çalışmalar, öğrencilerin hayal güçlerini ve ruhsal gelişimlerini destekleyecek; sanatı ve estetiği hayatlarının parçası hâline getirmelerine yardımcı olacaktır (D7.2). Öğrencilerden Türk kültürüne ait kilim ve halı motiflerini görsel yorumlama yöntemiyle incelemeleri, bu motifleri kendi yaptıkları süsleme örnekleri ile karşılaştırmaları istenir. Sınıfta kilim ve halı motifleri, örnek olarak sunulur. İletişim ve paylaşma becerilerini geliştirmek için öğrencilere tasarladıkları bu çalışmaları sınıf panosuna astıkları posterlerle ya da çevrim içi uygulamalardan yararlanarak sergileme imkânı sunulur (OB2, D19.3).

Dönme dönüşümü uygulanmış şekiller ve bu şekillerin görüntüleriyle ilgili örnekleri incelemeleri sağlanarak öğrencilere dönme dönüşümü ile ilgili özelliklere dair çıkarımlarda bulunmaları için fırsat verilir. Öğrencilerin geometrik dönüşümlerle ilgili çıkarım yapmalarını kolaylaştırmak için matematik yazılımları kullanılarak şekiller ve şekillerin dönüşümler altındaki görüntüleri karşılaştırılır (MAB5). Kullanılan matematik yazılımında öğrencilerin çalışmasının sağlanması, dijital ortamda içerik geliştirme ve paylaşma becerilerinin oluşması ve geliştirilmesinde önemli olacaktır (OB2). Süreç boyunca yapılacak çalışmalarda kullanılan çizimler, bu çizimlere ilişkin öğrenci yorumları ve öğrencilerin yaptığı paylaşımlar; görselleri dijital ortamda tanıma, anlama, oluşturma, yorumlama ve dönüştürme becerilerinin gelişimini sağlar (OB4). Öğrencilerin verilen bir görsel üzerinde çalışması, görselin sorgulanarak farklı problem durumlarının çözümünde kullanılmasını ve öğrencilerin özgün görseller oluşturma becerisini destekler (OB4). Öğrencilerden dönüşümler kullanarak elde edebilecekleri motif ve süsleme örnekleri oluşturmaları ve bu örnekleri sunmalarına yönelik performans görevi istenebilir.

MAT.9.5.2
Öğrenciler önceki bilgileri ile bir üçgeni oluşturan yeterli eleman ve eşlik koşulları arasındaki ilişkileri belirleyebilmektedir. Öğrencilere çeşitli eş ve benzer üçgen örnekleri inceletilerek öğrencilerin bu bilgileriyle geometrik dönüşümlere ilişkin çıkarımlarını birlikte yorumlamaları istenir. Bu yorumlarından yola çıkılarak üçgenlerin eş ve benzer olmasına ilişkin koşullara dair varsayımlarda bulunmaları sağlanır. Öğrencilerin varsayımlarını oluşturmalarına yardımcı olacak sorularla (“Tüm açı ölçüleri karşılıklı eşit olan üçgenler eş midir?”, “İki üçgenin eş olmadığı durumda karşılıklı açı ölçüleri eşit olabilir mi?” gibi) süreç yönetilir. Öğrencilerden eşlik ve benzerlik koşullarına dair örnekleri inceleyerek ulaştıkları varsayımlarını genellemelere dönüştürmeleri ve bu genellemeleri ifade etmeleri beklenir. Öğrencilerin örnekler üzerinde yaptıkları ölçüm ve incelemelerden ulaştıkları genellemeler, organize edilerek tahtada özetlenir. Bu tartışmalar ve özetler sayesinde öğrencilerin farklı bakış açılarını diğer öğrencilerin de görmeleri sağlanır ve her bir düşüncenin genellemeye ulaşmada önemli, saygın ve katkı sağlayıcı olduğu vurgulanır. Bu bağlamda öğrenciler, arkadaşlarının fikirlerini anlama ve bu fikirlere saygı duyma konusunda da motive olur (SDB2.3). Ulaşılan genellemeler ile varsayımların karşılaştırılması tartışma yoluyla sağlanır. Ulaşılan genellemelere dair önermeler ifade edilerek iki üçgenin eşlik ve benzerlik koşullarının (Kenar-Kenar-Kenar eşliği ve benzerliği, Açı-Açı benzerliği, Açı-Kenar- Açı eşliği gibi) belirlenmesini hedefleyen öğrenme ortamları oluşturulur. Bu süreçte sınıfta grup çalışması yapılarak her bir grubun eşlik ve benzerlik koşullarını belirlemesi; öğrencilerin iş birliği ve ekip çalışması yapma, düşüncelerini başkalarıyla tartışma, başkalarının düşüncelerini ve bakış açılarını anlama, grup iletişimine katılma ve başka düşüncelerde uzlaşma becerilerine katkı sağlar (SDB2.1, SDB2.2, SDB2.3). Önermelerin değerlendirilmesinde öğrencilerin eş ve benzer üçgenlerle nerelerde karşılaşabileceklerine dair düşünmelerine ve fikirlerini paylaşmalarına olanak sağlanır. Eş üçgenlerin süsleme sanatında dönüşümler yardımıyla üretildiği ve sanat eserlerinin oluşturulmasını sağladığı, çeşitli örneklerle vurgulanır. Öğrencilerin başka disiplinlerde ve günlük hayatta karşılaşılan eş ve benzer üçgenlerle ilgili fikirleri, sınıfça değerlendirilir. Sınıf gruplara ayrılarak her bir grubun geometri tahtası veya başka bir materyal yardımıyla üçgende eşlik ve benzerlik koşullarından birini incelemesi istenir. Öğrencilere iki üçgenin eş ve benzer olması için gerekli koşulları değerlendirebileceği bir performans görevi verilebilir. 

MAT.9.5.3
Üçgenlerin benzerliğinin geometrik problemlerin temelinde yer alması nedeniyle öğrencilerin bu problemlere dair farklı bir bakış açısı kazanması için bir üçgene benzer başka üçgenlerin nasıl oluşturulabileceğine dair düşünmeleri sağlanır. Herhangi bir üçgene benzer üçgenler oluşturmak için o üçgen üzerinde hangi çizimlerin nasıl yapılabileceği öğrencilere sorularak fikirlerin paylaşılması sağlanır. Böylelikle öğrencilerin görsel bir duruma ilişkin çözüm geliştirmek için akıl yürütmesi süreci işe koşulur (OB4). Öğrencilerin benzerlik koşulları ve geometrik çizimlere ilişkin deneyimlerine dayalı fikirlerini açıklamaları, verilen üçgene benzer bir üçgen oluşturmak için gerekli çizimleri yapmaları sağlanır. Öğrencilerden yaptıkları çizimler ile benzerlik koşulları arasında ilişki kurmaları istenir. Elde ettikleri bu ilişkiler yardımıyla farklı çizimlerin yapılıp yapılamayacağı hakkında düşünmeleri beklenir. Seçilen tüm yolların ilk üçgen ile benzer bir üçgen oluşturup oluşturmayacağı, farklı üçgen örnekleriyle çizimler yapılarak denenir. Yapılan denemeler sonucunda öğrencilerin bir üçgene benzer üçgenler oluşturan tüm durumlar hakkında çıkarımda bulunmaları desteklenir. Yaptıkları çıkarımları farklı problem durumlarının çözülmesinde, bazı önerme ve teoremlerin doğrulanmasında veya ispatlanmasında kullanarak öğrencilerin değerlendirmesi sağlanır. Öğrencilerden bir üçgene benzer üçgenler oluşturmayı gerektirecek farklı durumlara ilişkin örnek ve problemleri incelemesi beklenir. Bu problemlere çözüm üretirken öğrencilerin verilen görseli kullanarak yeni ve duruma uygun bir görsel oluşturma süreci desteklenir (OB4). Bir üçgene benzer üçgen oluşturma fikirleri arasında yer alan, üçgenin herhangi bir kenarına paralel çizilerek üçgenin içinde veya dışında o üçgene benzer bir üçgen oluşturulması fikri vurgulanır. Ayrıca bir dik üçgende dik açıdan yükseklik çizilerek üçgenin içinde oluşturulan üçgenler ile ilk dik üçgenin birbirine benzer olduğuna dikkat çekilir. Öğrencilere benzer üçgenler oluşturma ile ilgili yansıtma yapabileceği bir çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.9.5.4
Benzerlik koşullarına dair çıkarımda bulunan ve verilen bir üçgenin iç bölgesinde bir doğru parçası (paralel veya dikme) çizerek benzer üçgen oluşturabilen öğrencilerin bu çıkarımlarından hareketle ifadelerine ulaştıkları Tales ve Öklid teoremlerini ispatlayabilmeleri beklenir. Tales ve Öklid teoremleri tanıtıldıktan sonra bu teoremlerin ispatının bir üçgenden benzer üçgenler oluşturma koşulları kullanılarak nasıl yapılabileceğine dair tartışma yapılır. Tartışma sonucunda benzerlikle ilişkili ispat yöntemi belirlendikten sonra öğrencilerin bu teoremleri ispatlamaları sağlanır. Öğrencilerden ortaokulda tamkare uzunluklar içeren problemler bağlamında kullandıkları Pisagor teoremini bu sınıf seviyesinde ispatlamaları beklenir. Bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden Pisagor teoreminin ispatında Öklid teroemini nasıl kullanabilecekleri üzerinde düşünmeleri sağlanır. Yapılacak tartışma sonucunda öğrencilerin bir üçgenden benzer üçgenler oluşturma koşullarını ve Öklid teoreminde ifade edilen dik kenar bağıntılarını kullanarak Pisagor teoremini ispatlamaları sağlanır. Teoremlerin ispatında seçilen yöntemin ispat adımlarını takip ederek sistematik şekilde ilerlemek; öğrencilerin kararlılık, analitik düşünme ve sistematik olma eğilimlerine katkı sağlar (E1.3, E3.6, E3.7). İspatlanan teoremlerin değerlendirilmesinde benzer üçgenlerin kullanılmasının önemi vurgulanır. Öğrencilerin ispat yaparken kullandıkları yöntemi farklı problem durumlarına uyarlamaları beklenir. Öğretmenin teoremler ve bu teoremlerin sonuçlarına ilişkin farklı problem durumlarını sunması, bu değerlendirmede önem taşır. Ayrıca bu noktada öğrencilerden Pisagor teoreminin çeşitli dar ve geniş açılı üçgenlerin kenar uzunluklarıyla ilgili sonuçlarını (“Geniş açılı bir üçgende geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, diğer kenar uzunluklarının kareleri toplamından büyüktür.” gibi) yorumlamaları beklenir. Öğrencilere Tales, Öklid ile Pisagor teoremlerini, ispatlarını kullanabileceği ve farklı soru türlerinin bulunduğu çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.9.5.5
Öğrencilere eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarımlarını ve ispatladıkları teoremleri (Tales, Öklid, Pisagor) kullanmayı gerektiren problem durumları sunulur. Öncelikle bu tür problemlerde verilen ve istenenler ile bunlar arasındaki ilişkiler belirlenir (OB1). Bu süreç, öğrencilerin bilgiyi çözümleme becerilerini de destekler (OB1). Öğrenciler, özellikle gerçek yaşam durumlarını ifade eden problemleri matematiksel dile dönüştürerek o durumu matematiksel olarak incelemeye çalışmalıdır (MAB3). Bu incelemeler esnasında problemle ilgili akıl yürütme süreçlerini işleteceklerinden öğrencilerin eleştirel düşünme becerileri desteklenir. Bu bağlamda problemin yapısı ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkiler belirlenir ve bu ilişkilerin öğrenciler tarafından ifade edilmesi sağlanır. Problemi matematiksel olarak ifade ettikten sonra öğrencilerden çözüm için bir strateji geliştirip bunu uygulamaları ve çözümü kontrol etmeleri beklenir. Öğrenciler, arkadaşları ile çözümlerini karşılaştırarak farklı stratejileri ve çözüm yollarını inceler (SDB2.2). Öğrenciler, çözüme ulaştıran stratejilerin tüm durumlara genellenip genellenemeyeceğini matematiksel argümanlarla gözden geçirir ve gerekçeli yargılarda bulunur (SDB3.3). Öğrencilerin ulaşacakları yargılarda çözüm stratejilerinin hangi tür problemlerde kullanılabileceğini açıklaması beklenir. Bu süreçte öğrencilerden yaptığı çıkarımları başka problem durumlarına yansıtmaları beklenerek eleştirel düşünme becerilerinin ve öz yeterlilik eğilimlerinin gelişimine katkı sağlanır (E1.4). Öğrencilerin çözüm stratejilerini genellemelerinin ardından bu stratejileri farklı problem örnekleri ile değerlendirmesi sağlanır. Öğrencilere farklı problem durumlarını inceleyebilecekleri çalışma kâğıdı verilebilir. Problem çözme süreci; öğrenciler için olumlu bir yaklaşım sergileme, kontrollü ve istikrarlı olma durumlarını gerektirdiğinden öğrencilerin sabırla çalışma becerilerine destek sağlar (D12.3). Öğrencilerin problem çözme süreci boyunca sistematik olarak kararlı davranmaları beklenir (E3.7, E1.3). Ayrıca problem çözerken planlı ve etkin bir şekilde çalışmaları, bilimsel bir yaklaşımla yürüttükleri çalışmalara ilişkin öz denetim becerilerini geliştirmeleri desteklenir (D3.3). Öğrencilere eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarım ve teoremleri kullanabilecekleri problem durumlarına ilişkin proje ödevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden Pisagor teoreminin görsel ispatlarının ve değişik yöntemlerle yapılmış farklı ispatlarının olup olamayacağı üzerine düşünmeleri, konu ile ilgili araştırma yaparak araştırmalarını sınıf içinde sunmaları istenir.

(*) Öğrenilen geometrik dönüşümlerden farklı geometrik dönüşümler olup olamayacağı sorularak özellikle homoteti dönüşümünün incelenmesi istenir. Geometrik dönüşümlerin eşlikle ilişkisinden yararlanılarak homoteti dönüşümünün benzerlikle ilişkisi kurulur. 

(*) Nasirüddin Tusi ile Ebu Cafer Hazin'in Öklid’in 5. postulatına ilişkin çalışmaları incelenir. Öğrencilerden Öklid dışı geometrilerin nasıl oluştuğuna dair araştırma yapmaları istenir. Öğrencilerin Nasirüddin Tusi ve Ebu Cafer Hazin‘in Öklid’in 5. postulatına ilişkin çalışmaları arasında karşılaştırma yaparak bir çıkarımda bulunmaları sağlanır. Araştırmaların dijital ortamda yapılması, öğrencilerin dijital okuryazarlık becerilerinin gelişimini destekler.

Öğrencilerin konuya ilişkin tasarlanmış materyaller veya matematik yazılımları ile çalışmaları sağlanarak öğrenme çıktılarına ilişkin becerilere ve içerik bilgisine ulaşmaları sağlanır.

Öğrencilerin eş ve benzer üçgenlerle dönüşümleri kullanarak desenler oluşturmaları istenir. Çalışmalarını sunmalarına olanak verilir.

İçerikle ilgili sunulacak problemlerin çözümünde akran öğretiminden yararlanılır. İkişer kişilik ekipler hâlinde birbirleriyle etkileşim içinde çalışmaları sağlanır.

Öğrencilerden farklı örnek durumlar üzerinden ölçümler yaparak ispatlanan teoremleri doğrulamaları istenir. Daha sonra teoremlerin ispatları ile ilgili görsel ve materyaller kullanılarak öğrencilerin bu ispatları anlamlandırmaları sağlanır.

Öğrencilerin eşlik ve benzerlik koşullarına ilişkin çıkarımlarda bulunmaları için materyal olarak özellikle geometri tahtaları kullanılır. Öğrencilere konuyla ilgili videolar ve günlük hayattan örnekler sunulur. Etkileşimli içeriklerle uygulama yapma imkânı sağlanır.

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB1.3. Kendine Uyarlama (Öz Yansıtma), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D3. Çalışkanlık, D6. Dürüstlük, D8. Mahremiyet, D14. Saygı

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bileşenlerine hâkim oldukları, betimsel ve karşılaştırma gerektiren araştırma soruları oluşturabildikleri, kategorik veya nicel veri toplayabildikleri, verileri görselleştirebildikleri (sütun grafiği, daire grafiği, çizgi grafiği, nokta grafiği, kök-yaprak gösterimi) ve özetleyebildikleri (sıklık, ortalama, tepe değer, ortanca, açıklık, ortalama mutlak sapma), değişebilirlik ve dağılım kavramlarını değerlendirebildikleri, verileri yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine ilişkin bilgilerini değerlendirmek amacıyla kavram haritaları kullanılır. Bu süreçte öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine yönelik tutumları ve motivasyonları gözlemlenir. Öğrencilerden istatistiksel araştırma süreçlerine ilişkin deneyimlerini ifade etmeleri istenerek derse dikkatlerini vermeleri sağlanır. Bununla birlikte öğrencilere kategorik ve nicel veriler içeren bir bağlama yönelik açık uçlu sorular sorulabilir. Bağlam doğrultusunda oluşturulabilecek araştırma soruları; verilerin toplanma süreci; verilerin analizinde sıklık, ortalama, tepe değer, ortanca, açıklık, ortalama mutlak sapma değerlerinden hangilerinin araştırma sorularına cevap verebileceği ve sonuçların nasıl yorumlanacağı konularında test maddelerinin öğrencilerin ön bilgilerini yoklayacak yapıda olmasına dikkat edilir. Test sonuçları doğrultusunda öğrencilere geri bildirim verilir.

Öğrencilere örnek bir nicel veri dağılımı gösterilir. Verilerin histogram ve kutu grafiğiyle görselleştirilmesine yönelik sorular sorulur ve sorulara ortaokul düzeyinde öğrenilen sıklık tablosu, sütun grafiği, daire grafiği, çizgi grafiği, nokta grafiği, kök-yaprak gösterimi gibi veri görselleştirme araçlarıyla cevap verilip verilemeyeceği tartışılır. Bu görselleştirme araçlarının her zaman yeterli olamayacağı fark ettirilir.

Benzer şekilde veri özetlemeyi gerektirecek nicel bir veri dağılımı öğrencilere gösterilir. Öğrencilere kutu grafiği, histogram ve/veya standart sapma kullanmayı gerektirecek sorular sorulur; ortaokul düzeyinde öğrenilen sıklık, ortalama, tepe değer, ortanca, açıklık, ortalama mutlak sapma gibi veri özetleme değerleriyle sorulara cevap verilip verilemeyeceği tartışılır. Bu değerlerin veri özetleme için her zaman yeterli olamayacağı fark ettirilir.

MAT.9.6.1
İstatistiksel araştırma süreci; bağlamı belirleme, bağlama yönelik soru sorma, veri toplama planı yapma, verileri analize hazır hâle getirme, verileri analiz etme ve sonuçları yorumlama bileşenlerini içerecek şekilde ele alınır. Bu sınıf seviyesinde öğrenciler, tek nicel değişken içeren dağılımlarla istatistiksel araştırma sürecini yürütür. 

İstatistiksel araştırma problemlerine kaynaklık edecek bağlamlar, gerçek yaşam durumlarına uygun olarak belirlenir. İstatistiksel araştırma sürecine başlarken öğrencilere merak ettiği sağlık, eğitim, çevre, doğa, iklim gibi gerçek yaşam durumlarına ilişkin bilgilere ihtiyaçlarının olduğu fark ettirilir (E1.1, OB1). Öğrencilerin gerçek yaşam durumlarına ulaşabilmelerinde fikir alışverişi önemli olduğu için grup çalışmalarına katılmaları, farklı fikirlerin ortaya çıkmasını destekleyebilir. Öğrenciler, ortaya koydukları gerçek yaşam durumlarını arkadaşlarıyla tartışarak süreçte etkin rol alır (SDB2.2, D3.4). Bireysel çalışma veya grup çalışması yoluyla belirledikleri gerçek yaşam durumlarını örümcek ağı kavram haritası gibi tekniklerle gösterir veya dijital ortamlarda zihin haritası araçları yardımıyla oluşturarak paylaşır (OB2). Belirlenen gerçek yaşam durumları, veri toplamayı gerektirip gerektirmeme ölçütüne göre sınıf içi tartışmayla belirlenir (SDB2.1, SDB2.2). Bu süreç, öz ve akran değerlendirme formu ile değerlendirilebilir (SDB1.2, SDB1.3).

Belirlenen bağlamlardan yola çıkılarak öğrencilerin merak ettikleri soruları ifade etmeleri beklenir (E3.8). Öğrencilerin hazırladığı sorulara ilişkin fikirler üzerinden tartışma yürütmeleri, tartışma sonucunda nicel veri dağılımlarını betimleyebileceği ve karşılaştırabileceği istatistiksel araştırma sorularına ulaşmaları sağlanır (SDB2.2). Belirlenen araştırma soruları bireysel veya grup olarak sınıfa sunulur. Araştırma sorularının istatistiksel araştırma soruları olup olmadığı;
• Amacın net olması,
• Araştırmaya değer olması,
• İlgilenilen grubun (evrenin) açık olması,
• Değişkenlerin açık bir biçimde görülmesi,
• Veri toplanarak cevaplanabilmesi,
• Değişebilirliği (doğal ortamdan kaynaklı, müdahaleden kaynaklı, ölçümden kaynaklı, örneklemden kaynaklı) yansıtması,
• Odaklanılan grubun araştırmaya imkân vermesi (veri setindeki verileri tek tek ya da veri dağılımını bütüncül olarak incelemeye yönelik analize imkân vermesi),
• Nicel veri toplamaya uygun olması
ölçütleri dikkate alınarak tartıştırılır (SDB1.1). Öğrencilerden bireysel olarak veya grup çalışmasıyla bağlam doğrultusunda belirledikleri, sınıf içi tartışma sonrası son hâlini verdikleri nicel veriye dayalı istatistiksel araştırma sorularını oluşturmaları beklenir. Öğrencilerin sınıf tartışmalarına katılması; istatistiksel araştırma sorularına ulaşmaları sürecinde argümanlarını ortaya koyabilmesini, bu argümanlarını savunabilmesini ve farklı fikirleri değerlendirebilmesini destekler.

Araştırma sorusu hazırlamaya ilişkin değişebilirlik ölçütünün dört çeşidini de yansıtabilecek örnekler verilmesine dikkat edilir. Doğal ortamdan kaynaklanan değişebilirlik, doğada var olan değişebilirlik olarak ifade edilir. Öğrencilerin boy uzunluklarının farklılık göstermesi, bu duruma örnek olarak verilebilir. Ölçümden kaynaklanan değişebilirlik, ölçüm için kullanılan araçlarda veya bu araçları kullanan kişiler arasında farklılıklar olduğunda ortaya çıkar. Örneğin öğrencilerden bir topun düşme süresini bir kronometre ile ölçmeleri istendiğinde öğrencilerin kronometreyi yanlış okuması, ölçüm ayarını seçerken farklılaşma, kronometre ayarının yanlış yapılması gibi sebeplerden dolayı ölçüm değişebilirliği yaşanabilir. İki farklı kişinin kronometreyi aynı anda başlatması veya aynı anda durdurması mümkün olmadığında ölçümden kaynaklanan değişebilirlik ortaya çıkar. Müdahaleden kaynaklanan değişebilirlik isteyerek ortaya çıkarılır. Güneş ışığının bitkilerin büyümesini nasıl etkilediğini gözlemlemek için bitkilerin farklı güneş ışığı alma süresine sahip ortamlara yerleştirilmesi, bu değişebilirliğe örnek olarak verilebilir. Örneklem değişebilirliği ise aynı evrenden birden fazla örneklem alındığında ortaya çıkar. Evrenden farklı örneklemler alındığında ortalamalarının farklılık göstermesi, örneklem değişebilirliğine örnek olarak gösterilebilir.

Araştırma sorularının farklı disiplinlerden hareketle yapılandırılması, istatistiksel araştırma sürecinin daha iyi anlamlandırılmasına yardım eder. Örneğin biyoloji dersiyle ilişkilendirmek için memelilerin boy uzunluklarının nasıl bir dağılım gösterdiği incelenebilir. Meteorolojik verilerden hareketle ortalama sıcaklıkların değişimine dair çıkarım yapılarak coğrafya dersiyle, farklı kültürlere ait bilgiler toplanarak tarih dersiyle, bireylerin psikolojik değişkenlerine yönelik veri toplanarak psikoloji dersiyle, toplumsal olaylara yönelik araştırmalar yapılarak sosyoloji dersiyle ilişkilendirme yapılabilir. Bu ilişkilendirmelerle öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecini deneyimlemeleri sağlanır. Ayrıca verilerin betimlenmesine ve karşılaştırılmasına ilişkin araştırma soruları hazırlanırken dikkat edilmesi gereken noktalara değinilmelidir.

Belirlenen araştırma soruları doğrultusunda yürütülecek nicel veri toplama sürecine yönelik öğrenci fikirleri alınarak sınıf içi tartışma süreci yürütülür (SDB2.1, D14.1). Öğrencilere taslak bir veri toplama planı yaptırılır. Taslak veri toplama planları;
• Araştırma sorularına cevap bulmayı sağlayacak veri toplama araçlarını belirleme,
• Rastgeleliği sağlama,
• Evren ve örneklemi belirleme,
• Değişkenleri belirleme,
• Verilerin nerede, ne zaman, nasıl toplanacağını belirleme,
• Verilerin nasıl kaydedileceğini belirleme ölçütlerine göre incelenir.
Oluşturulan veri toplama planı doğrultusunda öğrencilerden veri toplama araçlarının (anket, görüşme, gözlem gibi) belirlenip oluşturulması ve verilerin toplanması istenir (OB1). Bu süreçte toplanan verilerin analize hazır hâle getirilmesi beklenir. Verileri toplarken kişisel verilerin gizliliğine, nesnel ve dürüst olunmasına dikkat edilir (D8.2, D6.1). Toplanan verilerin araştırma sorusuna cevap vermesi ve evrene uygunluğu, eleştirel bir bakış açısıyla tartışılır (E3.10). Sınıf içi tartışma sonrası son hâli verilen veri toplama planları sınıfta paylaşılır.

Öğrenciler tarafından oluşturulan istatistiksel araştırma soruları ve veri toplama planları, istatistiksel araştırma sorusu ve veri toplama planı ölçütleri doğrultusunda oluşturulan kontrol listesiyle değerlendirilebilir.

Araştırma soruları bağlamında toplanan verileri analiz etmek için görselleştirme (nokta grafiği, histogram, kutu grafiği) ve/veya özetleme (aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma) araçlarından uygun olanların seçilmesi sağlanır (MAB3). Kutu grafiğinin veri grubuna ilişkin özet bilgilerin (ortanca, açıklık, çeyrekler açıklığı, alt çeyrek, üst çeyrek, alt uç değer, üst uç değer) görselleştirilmesine olanak sağladığına dikkat çekilir. Uygun olan araçların belirlenmesinde araştırma sorularına yeniden dönülür, hangi araçların uygun olduğuna dair sınıf içi tartışma yapılır (SDB2.1). Seçilecek araçların araştırma sorularına cevap verecek ve verileri analiz edecek nitelikte olmasına dikkat edilir. Analiz sürecinde verilerin nasıl dağıldığının görülebilmesi ve/veya veri özetleme araçlarının dağılım üzerinden değerlendirilebilmesi amacıyla istatistik yazılımları kullanılır (MAB5).

Analiz süreci tamamlandığında elde edilen sonuçlardan yola çıkılarak öğrencilerle veriler arasını ve ötesini yorumlamaya yönelik sınıf içi tartışma yapılır (SDB2.1). Öğrenciler veriler arasını okumada analizden elde edilen sonuçlara ilişkin verileri karşılaştırmaya, verilerin ötesini okumada analizden elde edilen sonuçlara ilişkin verilerden hareketle geleceğe yönelik tahmin yapmaya teşvik edilir.

Öğrencilerin araştırma sorularına geri dönmeleri, elde ettikleri sonuçlardan hareketle araştırma sorusuna cevap vermeleri sağlanır. Araştırma sorularına verilecek cevapların istatistiksel ifadeler (verilerin merkezinin nasıl bir eğilim gösterdiğine, verilerin nasıl yayıldığına dair ifadeler) içermesi önemlidir. Bu süreçte seçilen örneklem dağılımından hareketle öğrencilerin evren dağılımı hakkında genellemeler yapmaları ve elde edilen sonuçları belirsizliği dikkate alan cümlelerle ifade etmeleri beklenir. Öğrencilere nicel veriye dayalı istatistiksel araştırma sürecinin bütününü değerlendirmeye yönelik bir performans görevi verilebilir.

MAT.9.6.2
Öğrencilerin başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel bilgilere eleştirel bakabilmeleri (E3.10) ve bu bilgileri tartışabilmeleri önemlidir. Bu bağlamda öğrencilere nicel veri dağılımlarına ilişkin hatalı/yanlı sonuç, yorum, çıkarım veya tahminleri içeren çalışma kâğıdı verilir; öğrencilerden bu çalışma kâğıdını incelemeleri istenir. Öğrencilerin var olan istatistik bilgileri doğrultusunda istatistiksel temellendirme yapmaları sağlanır. Buradan hareketle öğrencilerin verilen durumlara eleştirel bakmaları, istatistik bilgilerini kullanarak hataları/yanlılıkları tespit etmeleri istenir (E3.10). Öğrencilerin belirlediği hatalar ve yanlılıklar tartışmaya açılır (SDB2.1, SDB2.2). Öğrencilerden bu hata ve yanlılıkları eleştirel gözle değerlendirmeleri beklenir (KB3.3). Belirlenen bu hatalar/yanlılıklar beyin fırtınası, zıt panel, kollegyum gibi tekniklerle tartışılır. Fikir ve değerlendirmelerinden hareketle nicel veri dağılımlarına ilişkin hatalı/yanlı sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminler çürütülür veya kabul edilir (D6.1).

(*) Öğrencilerden basit rastgele örneklemin yanı sıra farklı örnekleme yöntemlerinden (sistematik, tabakalı, küme tipi) hareketle istatistiksel araştırma sürecini deneyimlemeleri, elde edilen verilerin analiz ve yorumlanma sürecindeki benzerlik veya farklılıkları ortaya koymaya yönelik sınırlandırılmış performans görevleri hazırlamaları istenir.

Öğrencilere farklı gruplara ait farklı değişkenler içeren veri setleri verilir. Öğrencilerden bu veri setlerine uygun, betimlemeye ve/veya karşılaştırmaya yönelik araştırma soruları oluşturmaları; uygun değişkeni seçerek istatistiksel araştırma sürecini yürütmeleri istenir.

(*) Öğrencilerden istatistiğin doğasına (sayıların bağlama göre anlam kazanması) ilişkin araştırma yapmaları ve araştırma sonuçlarını farklı araçlarla (poster, bildiri, sunum) paylaşmaları beklenir.

Öğrencilerden nicel veri dağılımlarına ilişkin istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminleri içeren durumları araştırmaları istenir. Bu durumları araştırırken hangi kaynakları (gazete haberleri, dijital kaynaklar, resmî kaynaklar gibi) kullanabileceklerini bilmeleri ve bu kaynakları kullanırken nelere dikkat etmeleri gerektiğine dair paylaşımlar yapmaları beklenir. Bu araştırmalarında fark ettikleri noktaları eleştirel olarak değerlendirmeleri istenir. Örneğin trafik kazalarını önlemek amacıyla radar yerleştirilen bir yerleşim yerinden geçen araçların hızlarını içeren bir durumu ve bu duruma ilişkin yorumları öğrencilerin değerlendirmeleri istenebilir. Yapılan yorumlar ile araçların hızlarını içeren veri dağılımları arasında tutarlılık olup olmadığı; yanlı, yanlış veya eksik bilgilerin olup olmadığı öğrenciler tarafından incelenerek değerlendirilir. Öğrencilerin yaptıkları bu değerlendirmeleri sunum, poster, bilgi görseli gibi araçlarla veya dijital ortamlarda içerik oluşturarak diğer arkadaşları ile paylaşmaları ve deneyimlerini ifade etmeleri sağlanır.

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine dâhil olmaları için grup çalışması yapılır. Gruplar heterojen şekilde düzenlenir. Akran öğrenmesi sayesinde öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecini anlamlandırmaları desteklenir.

Öğrencilerin hazır veri seti üzerinde çalışmaları sağlanır. Veri setindeki sayıların tam sayı olmasına dikkat edilir.

Nicel veri dağılımlarına ilişkin istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım ve/veya tahminler daha basit düzeyde (öğrencilerin yakın çevresindeki olay veya durumları içermesi gibi) sunularak öğrencilerin bunlara ilişkin değerlendirme yapmaları istenir.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.1. Uyum, SDB3.2. Esneklik

D3. Çalışkanlık, D16. Sorumluluk

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB7. Veri Okuryazarlığı

Öğrencilerin olayları ayrık olma ve ayrık olmama durumuna göre ayırt edebildiği, bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamının "1" olduğunu bildiği, olayların olasılığını deneysel ve teorik olasılık ile inceleyebildiği, deneysel ve teorik olasılık arasındaki ilişkiyi açıklayabildiği, “olay, deney, çıktı ve örnek uzay” gibi temel kavramları bildiği kabul edilmektedir.

Olasılık ile ilgili temel kavramları (olay, deney, çıktı, örnek uzay) ve olasılık yaklaşımlarını (deneysel ve teorik) günlük hayatta yer alan olay örnekleri üzerinden hatırlatma amacıyla soru cevap etkinliği yapılır. Verilen olayların ayrık olup olmama durumlarını ayırt etmek için kısa cevaplı sorular sorulur; öğrencilerin önceki sınıf seviyelerinde ele alınan olasılık kavramlarına ve olay çeşitlerine dair ön bilgiye sahip olup olmadığına, bu bilgileri kullanmaya istekli olup olmadığına dair gözlem yapılır.

Olayların olasılığı, öğrencilerin olasılığa dair ön bilgileri üzerine kurulur. Öğrencilere bir olaylı deneyler ve iki olaylı deneyler içeren gerçek yaşam durumlarından örnekler sunulur. Öğrencilerin bu örnekler üzerinden verilen olayların olasılığına ilişkin tahminde bulunmaları sağlanır. Sınıf içi tartışma yoluyla hangi durumlarda bir olay, hangi durumlarda birden çok olay olduğunu öğrencilerin ayırt etmeleri beklenir.

Örnek durumlar, öğrenciler için anlamlı ve ilgilerini çekebilecek nitelikte belirlenir. Birden çok olay içeren durumların olasılığının deneysel ve teorik olarak incelenmesi amacıyla öğrencilere bilgi toplamaya ihtiyaçları olduğu fark ettirilir. Ayrıca öğrencilerin, toplayacağı bilginin veriye dayalı olması gerektiğinin farkında olması sağlanır. Bu farkındalığın öğrencilerde olayların olasılığını araştırmaya yönelik merak uyandırması beklenir.

MAT.9.7.1
Bu sınıf seviyesinde en çok üç olaylı deneylere yer verilmelidir. Verilen örnek durumlardan hareketle öğrencilerden fikirler alınarak olayların olasılığına ilişkin sınıf içi tartışma süreci yürütülür (SDB2.1). Öğrencilerin deneylerin bir olay veya birden çok olaydan oluşup oluşmadığını keşfetmeleri, sınıf içi tartışmalar yoluyla sağlanır. Öğrencilerin gözlem yapabileceği, çıktıların eş olasılıklı olduğu bir olay seçilir. Seçilen olayın -sınıf ortamında deney yapılmasını kolaylaştırması açısından- hilesiz iki sayı küpü atılması ve küplerin üst yüzeylerine gelen sayıların toplamının alınması, farklı renkte eş parçalara ayrılmış çarkların çevrilmesi ve renklerin kaydedilmesi gibi deneyler olmasına dikkat edilir. Sınıf ortamına ve imkânlara uygun başka deneyler de tasarlanabilir (OB7).

Seçilen olaya ait, sınıf ortamında yapılan deneyde gözlenen olayın çıktı sayısı ve toplam deneme sayısı not edilerek veri toplanır (OB7). Toplanan verilerin kaydedilmesi ve düzenlenmesi için çetele ve sıklık tabloları kullanılır (OB7). Toplanan veriler sütun grafikleri ile görselleştirilebilir veya toplam sıklıklar özetlenebilir (OB7). Öğrencilerin topladıkları verilere dayanarak ele alınan olayın olasılık değerini tahmin etmeleri sağlanır.

Bu çalışmalarda öğrenciler, gruplara ayrılır. Grup çalışmasında grup üyelerinin her birine farklı görevler (deneyin yapılması, çıktı sayılarının kaydedilmesi, kaydedilen verilerin görselleştirilmesi gibi) verilerek ekip çalışması yoluyla iş birliği sağlanır (SDB2.2, D16.3). Elde edilen veriler (olayın çıktı sayısı ve toplam deneme sayısı) oranlanarak olayların göreli sıklıkları elde edilir. Öğrencilerden göreli sıklık değerleri ile daha önce yaptıkları tahminleri karşılaştırmaları istenir. Göreli sıklıklar sütun grafikleri gibi araçlarla görselleştirilerek olasılık dağılımı oluşturulur. Sıklık dağılımı ile göreli sıklık dağılımı karşılaştırılır. Deneme sayısının artması sonucunda dağılımların şeklinin, merkezinin ve değişebilirliğinin nasıl değiştiği incelenir. Olayların deney sonucunda elde edilen olasılık değeri ile toplam deneme sayısını öğrencilerin ilişkilendirmeleri sağlanır.

Yapılan grup çalışmaları, grup ve akran değerlendirme formları ile değerlendirilebilir.

Yapılan deneyde tekrar sayısının artırılması ile elde edilen çıktılara ilişkin dağılımda nelerin değişeceğine dair kısa cevaplı sorular sorularak öğrencilerin deneydeki tekrar sayısının yeterli olup olmadığı ile ilgili şüphe duymaları amaçlanır (E3.9). Öğrencilere çalışma kâğıdı verilerek sınıf ortamında yapılan deneylerde deneme sayısının artırılması, deneylerin çok tekrarlı olması sağlanmalıdır. Belli sayıda denemeden sonra görselleştirme yapılarak göreli sıklıkların karşılaştırılmasına ilişkin sorular sorulur.

Yapılan deneyin tekrar sayısı, sınıftaki her bir grubun katkısı ve iş birliği ile artırılır (SDB2.2). Grupların yapacağı katkılar ile 25, 50, 100, 150 ve 200 kez yapılan tekrarlar sonucu elde edilen dağılımlarda deneme sayısı arttıkça göreli sıklığın nasıl değiştiği tartışılır; belli bir değere yaklaştığını öğrencilerin gözlemlemeleri sağlanır. İstatistik ve olasılık konuları arasında bağ kurmak için göreli sıklığın değişimi, değişebilirlik kavramı ile ilişkilendirilmelidir.

Sınıf ortamında yapılan deneye ait tekrar sayısı yetersiz kalabilir. Tekrarların sayısını artırmak için teknolojik araçlar kullanılır (MAB5). Seçilen deneye ait tekrar sayısı; istatistik yazılımları veya genel ağda bulunan, kullanıma hazır simülatörler yardımıyla 500, 1000 ve 1500’e çıkarılır. Simülasyon birkaç defa tekrar edilir. Tekrar sayısı arttıkça sıklık tabloları ve dağılımlar güncellenerek önceki dağılımlarla karşılaştırılır. Böylelikle öğrencilerin ele alınan olaylara ait göreli sıklıkların değişebilirliğinin azaldığına yönelik çıkarımlar yapmaları beklenir. Deney esnasında elde edilen verilerin açıklanması ve görselleştirilmesinde poster, deney raporu gibi ürünler istenir.

Yaptıkları çıkarımlarla ilişkili olarak deneyin tekrar sayısının artması durumunda gözlemledikleri olayın olasılık değerinin daha kararlı olacağına dair öğrencilerin bir kanıya ulaşmaları beklenir. Ulaşılan kanıyı destekleyen ve olasılık alanında yaygın olarak bilinen büyük sayılar yasasına değinilir. Bu yasaya göre olayların yapılan tekrarlar ile gözlenen olasılığının tekrar sayısı arttıkça belli bir sayıya yaklaşma eğiliminde olduğu ifade edilir. Büyük sayılar yasasının formülünde limitin yer alması ve öğrencilerin limit konusunu 12. sınıfta görecek olması nedeniyle bu formülden söz edilmez. Öğrencilere olayların olasılığını deneysel olarak incelemeye yönelik bir araştırma ödevi verilebilir.

MAT.9.7.2
İki veya üç olaylı deneylerde (hilesiz iki sayı küpü atıp küplerin üst yüzeylerine gelen sayıların toplamını bulma, hilesiz madenî parayı üç kez havaya atıp üste gelen durumu gözlemleme gibi) teorik olasılık incelenirken olaylara ait çıktılar ve olası tüm çıktılar listelenir. En çok üç olaydan meydana gelen deneylerin örnek uzayını belirlerken olası tüm çıktıların kaydını tutabilmek için sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsiller kullanılması; ele alınan deneyin olası tüm çıktılarının görselleştirilmesi önerilmektedir (MAB3). Böylece öğrencilerin tüm olası çıktıları gözlemlemeleri sağlanır (SDB1.2). Ağaç şeması gösterimini kullanan bilim insanlarından Kindi’ye ait çalışmalardan ve bu çalışmaların istatistik ve olasılık alanına katkılarından bahsedilir.

Görselleştirilen tüm olası çıktılar arasından seçilebilecek “ve/veya” içeren durumlar (hilesiz iki sayı küpü atıldığında üst yüzlerine gelen sayıların toplamının 7 gelmesi; hilesiz iki madenî para atıldığında üst yüzlerinde birinin yazı, diğerinin tura gelmesi; 6 eş parçaya bölünen ve 1'den 6'ya kadar numaralandırılmış iki çark çevrildiğinde gelen sayıların çift veya asal sayı olması gibi) sözel olarak ifade edilir. Ardından öğrencilere bir çalışma kâğıdı verilerek etkileşim oluşturabilecek bir grup çalışması kurgulanır (SDB2.2). Öğrencilerden tüm olası çıktılar arasından olaya ait çıktıların sayısını planlı ve bilimsel bir şekilde belirlemeleri, olaya ait çıktı sayısının olası tüm çıktıların sayısına oranıyla ele alınan her bir olayın olma olasılığını hesaplamaları beklenir (E3.7, D3.2). Bu hesaplamalarda örnek uzaydaki her bir çıktının eş olasılıklı olduğuna dikkat çekilir.

Seçilen olaylar “ve/veya” içeren durumlar olabilir ancak koşullu olasılık yorumlaması gerektiren olaylara (hilesiz iki sayı küpü atıldığında üst yüzlerine gelen sayıların toplamının 6 geldiğinin bilinmesi ve sayıların aynı gelmesi gibi) değinilmez. Ele alınan olayların ayrık olma ve ayrık olmama durumlarının incelenmesine de yer verilir. Aynı örnek uzaya ait iki olayın ortak çıktısı yoksa bunların ayrık olaylar, ortak çıktıları varsa ayrık olmayan olaylar olduğu öğrencilere hatırlatılır. Seçilen olayların incelenmesiyle süreç sonunda öğrencilerin ayrık olaylar için  kuralına, ayrık olmayan olaylar için kuralına ulaşmaları beklenir.

Öğrencilerin olayların olasılığına ilişkin tümevarımsal akıl yürütebilmeyi tamamlaması için hesaplanan teorik olasılıkların deneysel olasılıkla ilişkisi ele alınmalıdır. Daha önce belirlenen ve teorik olasılığı hesaplanan olaylar arasından simülasyon kullanımına elverişli bir deney ile derse devam edilir veya hem deneysel hem de teorik olarak incelenebilecek yeni bir deney belirlenir. Ele alınan deneyde gözlenen olaya ait çıktı sayısı ile toplam tekrar sayısı, çetele ve sıklık tabloları kullanılarak kaydedilir. İstenen durum için göreli sıklıklar elde edilerek olasılık tahmini yapılır ve hesaplanan teorik olasılık değerleri ile karşılaştırılır.

Sınıf içinde yapılan deneme sayısı yeterli olmayabileceğinden simülasyon kullanılarak deneme sayısı artırılır (MAB5). Öğrenciler uzun vadede elde edilen sonuçlar ile teorik olasılık değerinin karşılaştırılması için teşvik edilir. Öğrencilerden yapılacak tartışma veya soru cevap etkinliklerinden edindikleri bilgileri sentezleyerek olayların deneysel olasılık değerinin deneme sayısı arttıkça teorik olasılık değerine yaklaşmasına yönelik genelleme yapması beklenir (OB1). Olayların teorik olasılıkları incelenirken tüm olası durumların görselleştirilmesinde kullanılan sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsillerin verilen olay bağlamında hangisinin daha uygun olduğuna dair eşleştirme testi kullanılabilir.

Öğrencilere günlük hayatta karşılaşılabilecek veya biyoloji (genetik, kalıtım gibi), coğrafya (meteoroloji tahminleri, yıllık beklenen yağış miktarlarının göreli sıklıkları gibi), ekonomi (ekonomik tahminler, finansal risk hesaplamaları gibi) gibi diğer disiplinlerden seçilecek olasılık problemlerini içeren açık uçlu sorular verilir. Böylelikle öğrenciler, veriye dayalı veya teorik olarak elde edilen olasılık değerlerinin günlük hayattaki karşılığını görür; alacakları kararlarda daha esnek davranmayı ve belirsiz ya da yeni durumlara uyum sağlamayı içselleştirir (SDB3.1, SDB3.2).

Öğrencilere olayların olasılığını gözleme dayalı tahmin etme ve tümevarımsal akıl yürütme becerilerinin bileşenlerini bütünsel olarak değerlendirebilme amacı ile performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden dört olaydan meydana gelen olayların olasılığını içeren gerçek yaşam durumlarına ilişkin değerlendirmeler yapmaları istenir. Örneğin spor müsabakalarında oyuncu performanslarının yıllara göre istatistikleri incelenerek öğrencilerden olayların olasılıklarını hesaplamaları ve elde ettikleri sonuçlardan hareketle bir karara ulaşmaları beklenir.

(*) Büyük sayılar yasasına ilişkin araştırma yapılması, yapılan araştırmaların özgün ürünlerle (poster, bilgi görseli gibi) sunulması veya bilimsel bir raporla paylaşılması istenir. Olayların olasılığı, düzgün çok yüzlü materyaller (düzgün sekiz yüzlü, düzgün on iki yüzlü gibi) kullanılarak ele alınır.

Öğrencilerden olayların örnek uzayını belirlerken olaylara ait çıktıların kaydını tutabilmek için kullanılan sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsiller arasında hangisinin verilen bağlama uygun olduğunu eleştirel bir bakış açısıyla değerlendirmesi istenir. Yapılan seçimin gerekçelendirilmesine yönelik çalışma kâğıdı hazırlanır.

Ele alınan deneyler iki olay ile sınırlı tutulur.

Olasılık deneyleri, farklı duyulara hitap edebilecek (dokunma ve görme duyularına hitap etmek amacıyla farklı renklerdeki eşit bölmeli çarkları öğrencilerin elle çevirmesi ve elde ettikleri renklerin kaydedilmesi gibi) şekilde tasarlanır.

Olayların olasılığını teorik olarak incelemek için gerekli çıkarımların ve matematiksel ilişkilerin daha erişilebilir kılınması amacıyla destek, ipuçları ve görseller sağlanır. Ulaşılan sonuç ve genellemeleri içeren hatırlatma notları, afiş veya poster ile sınıfta sunularak tartışılır.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.2. İş Birliği, SDB3.2. Esneklik

D3. Çalışkanlık, D16. Sorumluluk

OB2. Dijital Okuryazarlık

Öğrencilerin dik koordinat sistemini tanıdığı, dik koordinat sisteminde sıralı ikilileri gösterebildiği, doğrusal ilişkili nicelikleri bağımlı-bağımsız değişkenlerle cebirsel olarak ifade edebildiği, doğrusal ilişkili iki çokluk arasındaki ilişkiyi fonksiyon olarak ifade edebildiği, dik koordinat sisteminde verilen doğrusal ilişkilerin grafiklerini eğimlerine göre yorumlayabildiği, doğrusal ilişkili iki niceliğe ait cebirsel bir ifadede bir niceliğin değeri verildiğinde diğerinin değerini hesaplayabildiği kabul edilmektedir.

Doğrusal ilişkileri belirleyebilmeyle ilgili bilgilerini değerlendirmek için öğrencilere gerçek yaşamdan örnekler inceletilebilir. Öğrencilere doğrusal ilişki içeren eğitici oyunlar oynatılarak varsa ön bilgilerdeki eksikliklerin giderilmesi sağlanır. Öğrencilerden koordinatları verilen farklı noktaları dik koordinat sistemine yerleştirmeleri ve cebirsel gösterimleri verilen farklı doğruların grafiklerini dik koordinat sisteminde çizmeleri istenir.

Öğrencilerin önceki öğrenmelerinden hareketle hangi durumların doğrusal ilişkilerle temsil edilebileceğine dair fikir yürütmelerini sağlayacak doğrusal ilişki ve doğrusallık kavramlarının ne anlama geldiğiyle ilgili sorulara yer verilir. Doğrusal ilişkilerin grafik temsilleri ile cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiler, gerçek yaşam bağlamlarında (sıcaklık değişimi, ücret tarifeleri, tasarruf edilen suyun hacmine göre aile bütçesinde azalan gider gibi) öğrencilere sorgulatılabilir. Böylelikle öğrencilerin ilgi ve motivasyonlarının artırılması ve bilişsel açıdan temaya hazır olmaları sağlanır.

MAT.H.1.1
Doğrusal ilişkiler içeren problemlerden elde edilen veriler; tablo, cebirsel ve grafik temsillerle ifade edilir (MAB2, MAB3). Bu problemlerde yer alan doğrusal ilişkiyi temsil eden doğruların eğiminin pozitif/negatif olması durumlarına, bu doğruların orijinden geçen/geçmeyen farklı durumlar içermesine dikkat edilir. Doğruların tablo, cebirsel ve grafik temsillerinde elektronik tablo ve dijital grafik hesaplayıcılar içeren matematik yazılımları kullanılır (D3.3). Problemdeki bilgilere göre öğrencilerin elektronik tabloyu doldurmaları ve doğrusal ilişkiyi keşfettikten sonra elektronik tablo yardımıyla problemdeki bağlama uygun başka noktalar bulmaları sağlanır. Tablodaki değerlerin bağımlı-bağımsız değişkene göre dik koordinat sisteminde noktalarla temsil edildiği çalışmalar için dijital grafik hesaplayıcı içeren matematik yazılımları kullanılır. İki nokta verildiğinde bu noktalarla aynı doğru üzerinde olacak üçüncü bir nokta bulmaya dönük çalışmalar için öğrenciler, dijital grafik hesaplayıcılar içeren matematik yazılımları kullanır. Bu matematiksel araç ve teknolojilerin hangi durumlarda ve nasıl kullanılacağına ilişkin örnek çalışmalar yapılır (OB2, SDB1.2). Öğrencilere benzer çalışmalara yönelik performans görevi verilebilir. Öğrencilerden verilen performans görevini zamanında ve eksiksiz olarak yerine getirmeleri beklenir. Böylece sorumluluk değerini kazanmaları desteklenir (D16.3).

Öğrencilerin verilen bir problem durumundan yola çıkarak doğrusal ilişkiye ait cebirsel temsil elde etmek ya da doğrusal ilişkinin grafiğini çizmek için matematiksel araç ve teknolojilerden uygun olanları kullanmaları sağlanır. Öğrencilerden doğrusal ilişkilerin grafik temsilleri ile cebirsel temsillerindeki katsayıları matematiksel araç ve teknolojiden yararlanarak yorumlamaları beklenir. Örneğin dik koordinat sisteminde verilen bir doğruya paralel doğrular oluşturmak, bir doğrunun verilen bir göreve uygun olarak grafiğinin ötelenmesini sağlayacak şekilde katsayılarını değiştirmek gibi görevler etkileşimli dijital araçlar üzerinde gerçekleştirilir. Bu dijital araçlarla öğrencilerin bireysel denemeler yapmaları sağlanarak kendi öğrenme deneyimlerini oluşturmaları desteklenir (E2.3, SDB1.2). Öğrencilere olası tüm çözüm stratejilerini inceleyebilecekleri açık uçlu sorulardan oluşan dijital testler verilebilir.

Öğrencilerden fizik, kimya, biyoloji veya ekonomi alanlarında karşılaştıkları doğrusal ilişkilerden hareketle denklem ve eşitsizlikleri kullanmayı gerektirecek sözel temsilleri matematiksel temsillere dönüştürebilmeleri beklenir (MAB3). Bu temsiller arası geçişin gösterilebilmesi için elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır. Öğrencilerin problem çözmede farklı yollar denemelerine imkân veren, dijital olarak hazırlanmış, iş birlikli öğrenme yöntemiyle yapılan etkinlikler veya yarışmalar düzenlenir (SDB2.2, SDB3.2). Bu süreçte öğrencilerin grup dinamiğinde etkin olmaları ve kendilerine uygun görevleri almaya istekli olmaları beklenir (D3.4). Öğrencilerin problem çözme sürecinde farklı yollar denemeleri, sözel temsillerle cebirsel ve grafik temsilleri arasındaki ilişkileri yorumlayabilme becerileri desteklenerek esneklik becerilerinin gelişimine katkı sağlanır (SDB3.2). Öğrencilere doğrusal ilişkiler içeren problem çözümlerine yönelik performans görevi verilebilir.

Öğrencilere bilgisayar bilimleri, kriptoloji, fizik, kimya, biyoloji gibi farklı disiplinlerde geçen doğrusal ilişkili durumların keşfedilmesine ve bu durumların matematiksel temsillerle ilişkilendirilmesine yönelik görevler verilir. Bu görevlerde öğrencilerin matematik yazılımlarından yararlanmaları sağlanır. Benzer şekilde doğrusal ilişkili problemler ifade edilirken “sözde kod yazma” gibi farklı uygulamalar yaptırılır.

Basit doğrusal ilişkili durumları (şekilsel sayı örüntüleri, sabit hızlı harekette zaman ile yol ilişkisi gibi) fark etmeye yönelik çalışmalara yer verilir. Doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumları, öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonu artırılır. Kullanılacak dijital materyallerin kullanıcı arayüzlerinin kolay, anlaşılır ve farklı denemeler yapmaya uygun olmasına dikkat edilir.

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.3. Sosyal Farkındalık, SDB3.2. Esneklik, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D3. Çalışkanlık, D10. Mütevazılık, D14. Saygı

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB7. Veri Okuryazarlığı

Öğrencilerin tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini bildiği; bir doğal sayının çarpanlarını ve katlarını, iki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirleyebildiği; bölünen, bölen, bölüm ve kalan kavramlarını bildiği; temel aritmetik işlemleri kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerini çözümleyebildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri, bir doğal sayının çarpanları ve katları, iki doğal sayının ortak bölenleri ve ortak katları, bölünen, bölen, bölüm ve kalan kavramlarıyla ilgili bilgilerinin, temel aritmetik işlemlerle ilgili becerilerinin belirlenebilmesi için soru cevap tekniği uygulanabilir.

Gerçek yaşamda karşılaşılan (bir öğrencinin farklı seçmeli derslerden aynı gün ve saatte olmayan dersleri seçmesi, bir gökdelende duracağı katlar farklı algoritmalara göre belirlenen asansörlerden gidilecek kata göre en uygun olanın çağrılması gibi), mantıksal çıkarım gerektiren durumlara ilişkin örneklere yer verilir. Gerçek yaşamda verilerin sıralandığı (tren veya otobüs sefer saatlerinin sıralı olarak verilmesi, doktor nöbet günlerinin sıralı olarak belirtilmesi gibi), diyagram (bir spor organizasyonunda yapılacak elemelerin gösteriminde, biyolojide canlıların özelliklerine göre sınıflandırılmasında kullanılan diyagramlar gibi) veya tablo ile gösterildiği (haftalık ders programları gibi), gruplandırıldığı (ülkemizdeki şehirlerin isimlerinin baş harflerine göre gruplandırılması gibi) örneklere yer verilir. Bu örneklerden hareketle, hangi temsil biçimine ne amaçla yer verildiği, tercih edilen temsil biçiminin olumlu veya olumsuz yönlerinin neler olduğu gibi farklı konulara ilişkin sınıf içi tartışmalar yapılır.

MAT.H.2.1
Sözel mantık problemleri, zekâ soruları, bilmeceler, kelime oyunları, nim oyunları gibi farklı soru veya problemlerin mantıksal çıkarım gerektirdiği üzerinde durularak mantıksal çıkarım kavramının anlamlandırılması üzerine çalışmalar yapılır. Kimyada maddelerin homojen karışım oluşturup oluşturmama bilgisine göre bir karışımdaki maddelerin türlerinin belirlenmesi; maddenin katı, sıvı veya gaz hâlinde olduğu sıcaklık aralıklarına göre sıcaklığı sabit olan bir ortamda belirli hâllerde bulunan maddelerin türlerinin belirlenmesi; biyolojide besleme-beslenme ilişkilerine göre canlıların yaşayabilecekleri uygun ekolojik koşulların belirlenmesi gibi farklı disiplinlerde karşılaşılan ve mantıksal çıkarım gerektiren durumların neler olduğuna dair sınıf içi tartışmalar yapılır (SDB2.1, SDB3.3, E1.1).

Problem örnekleri üzerinden gruplandırma, örüntü elde etme, sistematik liste yapma, sıralama gibi stratejiler uygulanarak matematiksel temsiller ile problemdeki algoritmik yapılar arasındaki ilişkiler belirlenir (E3.6). Belirlenen ilişkilerden hareketle problemlerde yer verilen bilgilere dayalı olarak sözel veya görsel temsilleri tablolaştırma, cebirsel temsil elde etme gibi matematiksel dil veya temsillerin kullanılması sağlanır (OB1, OB4, MAB3). Dönüştürülen temsillerin problem bağlamındaki anlamı ifade edilir. Örneğin bir kısmı oynanmış tic tac toe (tik tak to), sudoku gibi bir oyuna ait görsel verilerek oyunun kalan kısmının kaç farklı şekilde oynanabileceği sorulur. Sorunun çözümü için olası durumlar belirlenip her bir olası durum için yapılabilecek farklı hamleler, tablo ile temsil edilir. Ardından farklı hamlelerin sayısı, tablodan elde edilen veriler yardımıyla basit sayma stratejileri ile bulunur (OB4). Bu tür etkinlikler esnasında öğrencilerden disiplinli ve istikrarlı çalışma alışkanlıkları geliştirmesi beklenir (D3.1).

Öğrencilerin karşılaşılan problemlerde elde edilen mantıksal çıkarımla ilgili olarak ağaç şeması, sistematik listeleme, diyagram ve tablo temsilinden yararlanma gibi çözüm stratejilerinden uygun olanı belirlemeleri sağlanır (SDB1.2, SDB3.2, E3.7, MAB3). Öğrencilerden belirlenen çözüm stratejilerinden birini kullanarak problemi çözmeleri beklenir. Öğrenciler, bulunan sonucu farklı çözüm stratejilerini kullanarak elde edilen diğer özgün çözümlerle karşılaştırarak kontrol etmeye teşvik edilir (E3.6, E3.11).

Örneğin üç kişinin tiyatro, sinema ve müzik branşlarını ilgi düzeylerine göre puanladıkları varsayılsın. Buna göre her bir kişinin bu üç branş içerisinden en çok hoşlandığına 3, daha az hoşlandığına 2, en az hoşlandığına 1 puan verdiği kabul edilsin. Bu kişilerin yaptıkları puanlamalarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilsin.
• Herkesin en az hoşlandığı branş, birbirinden farklı olmuştur.
• Müzik, herhangi bir kişinin en çok hoşlandığı branş olmamıştır.
• Tiyatro branşına verilen puanlar, birbirinden farklıdır.
Verilen bilgilere göre sinema branşına verilen toplam puan sorulduğunda öğrencilerin problemin çözümü için tablo temsilinden yararlanmaları beklenir. Buna göre oluşturulacak tablo, her bir kişinin branşlara verebileceği puanlar göz önünde tutulup öğrenciler tarafından doldurulur. Doldurulan tablodan yararlanılarak problem çözülür. Aynı problemin çözümü için diyagram da oluşturulabilir. Buna göre her bir kişinin branşlara verebileceği puanlar göz önünde tutulup kişiler ile branşlar oklarla eşleştirilir. Bu şekilde elde edilen diyagram yardımıyla problem çözülür. Elde edilen sonuç, tablo temsilinden yararlanılarak bulunan sonuç ile karşılaştırılır.

Mantıksal çıkarım gerektiren problemlerin çözümlerinde öğrencilerden farklı yaklaşımlar ortaya koymaları, argümanlar ve karşı argümanlar geliştirmeleri istenir (SDB3.2). Aynı problem farklı çözüm stratejileri ile çözüldükten sonra hangi çözüm stratejisinin daha pratik, kolay ve anlaşılır olduğu hakkında her öğrencinin fikir yürütmesi için öğrencilere gerekli zaman tanınır (SDB1.1). Çözüm stratejisini bulan öğrencilerin diğer arkadaşlarının da bir çözüm stratejisi geliştirmelerini beklemesi sağlanır. Öğrencilerin tüm fikirleri mütevazı bir şekilde dikkate alıp arkadaşlarından gelen bilgi, öneri ve eleştirilere açık olması sağlanarak sınıf içi tartışmalar yapılır (SDB2.3, D10.3). Bu sayede öğrencilerin arkadaşlarının farklı fikirlerine saygı duymaları sağlanır (D14.1). Öğrencilerin hangi çözüm stratejisinin kullanımının hangi durumlarda daha uygun olduğunu anlamaları beklenir. Böylelikle öğrencilerin muhakeme, görselleştirme, ilişkilendirme, esneklik ve iletişim gibi becerilerinin geliştirilmesi desteklenir (SDB2.1, SDB3.2). Öğrencilere mantıksal çıkarım gerektiren problem durumlarına yönelik performans görevi verilebilir.

Satranç, sudoku, rubik küp, jenga, mangala gibi oyunlar incelenir. Oyun sırasındaki belli hamleler veya oyunda kullanılan taşlar üzerinden mantıksal çıkarım gerektiren problemler çözülür. Öğrencilerden benzer oyunlar tasarlayarak bu oyunlar üzerinden mantıksal çıkarım gerektiren problem üretmeleri istenir.

Öğrencilere akış şemaları oluşturma, sistematik liste yapma, tablo oluşturma gibi stratejiler kullanmayı gerektiren çalışma kâğıtları verilir. Bununla ilgili dijital içerikler incelenebilir. Bu stratejilerin kullanıldığı basit muhakemelere dayalı mantıksal çıkarım gerektiren problemler tercih edilir. Benzer nitelikte daha fazla problem incelenerek öğrencilerin zihin alışkanlıkları kazanmaları sağlanır.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D8. Mahremiyet, D14.Saygı, D16.Sorumluluk, D19. Vatanseverlik

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

Öğrencilerin bir doğal sayının çarpanlarını ve katlarını belirleyebildiği; bölünen, bölen, bölüm, kalan kavramlarını ve bölme algoritmasını bildiği; doğal sayılarda bölünebilme kurallarını kullanarak işlemler yapabildiği; iki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirleyebildiği; örüntü, terim ve cebirsel ifade kavramlarını bildiği kabul edilmektedir.

Öğrencilerin doğal sayıların ve tam sayıların özellikleri, bölme algoritması, doğal sayılarda bölünebilme kuralları ve cebirsel ifadelerle ilgili bilgi ve becerilerinin belirlenmesi amacıyla açık uçlu sorular sorulabilir. Öğrencilere iki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirlemeye, farklı sayı ve şekil örüntülerinde verilmeyen terimleri bulmaya, örüntüyü devam ettirmeye ve örüntünün cebirsel kuralını bulmaya yönelik çalışmalar yaptırılabilir.

Ardışık sayılar, ardışık tek/çift sayılar gibi belli özelliğe sahip sayı örüntülerinin incelendiği sınıf içi tartışmalar yapılır. Bu tür sayılara (üçgensel, karesel sayılar gibi) karşılık gelen şekiller incelenebilir. Öğrencilerin gerçek yaşamda (belirli aralıklarla tutulan nöbetler gibi) örüntü içeren farklı durumlarla karşılaşılabildiğini fark etmeleri sağlanır.

MAT.H.3.1
Gerçek yaşam durumlarına karşılık gelen bir örüntünün belli sayıda terimi verilir. Bu örüntüye göre örüntünün bir sonraki adımında hangi sayının gelebileceği ve bu sayının nasıl bulunabileceğiyle ilgili sınıf içi tartışmalar yapılır. Örneğin bir ayın ilk günü nöbete başlayan ve her 5 günde bir nöbet tutan bir kişinin 4. nöbetini ayın kaçıncı gününde tutacağı, belirli bir duraktan 15 dakikada bir geçen tramvayın gün içinde ilk kez saat 08.00’de bu duraktan geçtiği düşünüldüğünde aynı duraktan saat kaçta 6. kez geçeceği gibi gerçek yaşam durumları incelenir. Öğrenciler, problemin çözümü ile ilgili bireysel düşüncelerini sınıfta paylaşmaları konusunda teşvik edilir (SDB2.1). Farklı yapıdaki örüntüler verilerek örüntünün terimleri arasındaki ilişkiler (ortak fark, ortak çarpan, bir teriminin diğer terimler cinsinden ifade edilmesi gibi) hakkında çıkarımda bulunmaları için öğrencilere fırsat verilir. Çıkarımlar sonucunda örüntünün terimleri arasındaki ilişkilerin belirlenmesi sağlanır. Terimler arasındaki ilişkiler sözel ve cebirsel olarak genellenir (MAB3). Örneğin örüntünün ardışık terimleri arasındaki farkın ya da oranın sabit olduğu genellemesi yapılabilir. Sayı örüntülerinin bulunduğu çalışma kâğıtları dağıtılarak öğrencilerden örüntülerin genel terimlerini cebirsel olarak ifade etmeleri beklenir (SDB1.2). Çalışmanın zamanında ve eksiksiz yerine getirilmesi beklenir (D16.3).

MAT.H.3.2
Öğrencilerin kriptoloji bilimi hakkındaki bilgileri ve düşünceleri sorgulanır. Kriptoloji biliminin kullanıldığı alanlar ve önemi hakkında (devletlerin sırlarını şifreleyerek ulusal güvenliği korumak gibi) sınıf içi tartışma yapılır (D19.4, E1.1).

Seçilen şifreli metinler harflerden, sembollerden veya sayılardan oluşur. Şifreli metinleri çözme (deşifre etme) problemlerinin çözümleriyle ilgili sınıf içi tartışma yapılır. Öğrencilerin problemlerin çözümleriyle ilgili önce bireysel olarak düşünmesine fırsat verilir (MAB2, SDB3.3). Sonrasında öğrenciler kendilerine özgü düşüncelerini paylaşmaları konusunda teşvik edilir (E3.11, SDB2.2). Bu süreçte öğrencilerden şifreli metinlerdeki örüntüleri incelemeleri ve ardından deşifre etmeleri istenir. Örneğin alfabenin harfleri sıfırdan başlanarak numaralandırılıp belli bir kurala göre ileri ya da geri ötelenerek şifreli metinler elde edilebilir. Bu noktada alfabedeki harflerin şifrelenmesi sonucunda bir şifre alfabesinin oluştuğu gösterilir. Öğrencilerden farklı şifreli metinleri inceleyerek bu metinleri deşifre etmeleri istenir. Örneğin anahtar kullanılarak şifrelenen bir metnin nasıl deşifre edilebileceği incelenir. Sonrasında farklı yöntemlerle şifrelenmiş metinlerin nasıl deşifre edilebildiğine dair çıkarımlarda bulunmaları beklenir (SDB3.3, MAB1). Harf, sayı, sembol ve şekillerden oluşan şifreli metin görselleri incelenerek şifreleme algoritmasının nasıl olabileceği üzerine tartışmalar yapılır (OB4). Şifreli metinlerin bulunduğu çalışma kâğıtları dağıtılarak öğrencilerin bu metinleri deşifre etmeleri beklenir. Şifreli metinlerin özellikle bilgisayar biliminde kullanımı üzerine tartışılır. Bu sayede verilerin gizliliğini teminat altına almada şifrelemenin önemli bir araç olduğu vurgulanarak kişisel verilerin mahremiyetini sağlamadaki önemi üzerinde durulur (D8.2). Öğrencilere şifrelemede kullanılan sayı örüntüsü ilişkilerinin ve bu sayı örüntülerinin genel terimlerinin cebirsel temsilinin bulunmasının istendiği çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.H.3.3
Önceden bilinen algoritmalara göre oluşturulmuş şifreli metinler incelenir. Bölme işleminden elde edilen kalana göre oluşturulan şifreleme örnekleri gibi farklı şifreleme yöntemleri kullanılan metinlerin incelenmesi sağlanır. Örneğin “A, B, C, ... , Z, nokta, virgül, tırnak işareti, boşluk” gibi 33 sembolden oluşan bir metinde harfler kodlanırken A harfi için 00, B harfi için 01, … , boşluk için 32 sayısı atanabilir. Harflere karşılık gelen her bir sayının 6 fazlasının 33’e bölümünden kalanların alfabedeki harf karşılıkları dikkate alınarak oluşturulmuş bir şifreleme örneği verilebilir. Sonrasında öğrencilerin şifreleme kurallarını incelemesi sağlanır. Yapılan incelemeler sonucunda şifreleme kurallarındaki nitelikler (şifrenin yazıldığı dilin alfabesindeki harflerin numara karşılıkları, ileri/geri kaç adım ötelendiği, en çok hangi harflerin kullanıldığı, hangi sayı eklenip hangi sayıya bölümden elde edilen kalanlara göre şifreleme yapıldığı gibi) tespit edilir. Bu süreçte sınıf içi tartışmalar yapılır. Bu tartışmalar yapılırken öğrencilerin düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve diğerlerinin düşüncelerini saygı çerçevesinde dinleyerek arkadaşlarıyla etkileşim kurmaları sağlanır (D14.1, SDB2.1). Öğrencilerden tespit edilen özelliklere ilişkin çıkarımlar yapmaları beklenir (MAB1). Sonrasında öğrencilerden yeni şifreler oluşturmaları istenir. Bu süreçte gruplar oluşturularak öğrencilere şifreli metinler hazırlama ve birbirlerinin metinlerini deşifre etme esasına dayanan sınıf içi uygulamalar yaptırılır (SDB2.2). Uygulama sonrası öz değerlendirme ve grup değerlendirmeleri yapılabilir (SDB1.2). Gruplar, oluşturdukları şifreli metinleri mahremiyete dikkat ederek dijital ortamlarda birbirleriyle paylaşır (OB2). Öğrencilere şifreli metin oluşturmaya yönelik performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden tarihte farklı zamanlarda kullanılan matematiksel bilgiye göre geliştirilmiş şifreleme araçlarını (Sezar çarkı, Enigma, SIGABA gibi) incelemeleri istenir. Bu araçlarda ve günümüzde kullanılan şifreleme yöntemlerinde yer alan matematiksel yapıyı belirlemeleri ve kendilerinin de farklı araç ya da şifreleme yöntemi geliştirmeleri istenir.

Şifre oluşturmayı veya oluşturulan şifreyi çözümlemeyi gerektiren durumlarda öğrencilerin bilgi ve beceri düzeylerine uygun, basit algoritmik işlemler içeren problem örnekleri tercih edilir. Öğrencilere farklı çevrim içi şifreleme uygulamaları kullandırılarak şifreleme örneklerini görmeleri ve kendilerinin de uygulamanın ilgili kısmında değişiklikler yaparak şifre oluşturmaları istenir.

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.2. Esneklik

D7. Estetik, D14. Saygı, D16. Sorumluluk

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı, OB9. Sanat Okuryazarlığı

Öğrencilerin pergel, ölçüsüz cetvel ve matematik yazılımı gibi araç gereci tanıdıkları; bu araçlarla basit düzeyde çizim ve inşa (doğru, orta nokta, kenar orta dikme, açıortay, üçgen, çember gibi) yapabildikleri; geometrik bir şeklin yansıma ve öteleme dönüşümü altındaki görüntüsüne ilişkin çıkarım yapabildikleri; üçgenlerin eşliğine, benzerliğine, yardımcı elemanlarına, çokgen ve özel dörtgenlerin özelliklerine dair çıkarımda bulunabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin üçgenin temel ve yardımcı elemanlarına, üçgenlerin eşliğine ve benzerliğine, çokgenlere ve özel dörtgenlere ilişkin bilgileri soru cevap tekniği veya çalışma kâğıdı kullanılarak değerlendirilir. Öğrencilerin temel çizim, inşalar (doğru, orta nokta, kenar orta dikme, açıortay, üçgen, çember gibi), yansıma ve öteleme dönüşümlerine ilişkin bilgileri de sınanır. Tespit edilen hatalı ve eksik öğrenmelere yönelik uygun açıklamalar yapılır veya dönütler verilir. Öğrencilerin bilgilerini doğru anlamlandırmaları ve eksikliklerini tamamlamaları sağlanır.

Öğrencilerin bu seviyede yapacakları çizim ve inşalar, önceden öğrendiği çizim ve inşalar temelinde yapılandırılır. Öğrencilerden pergel, ölçüsüz cetvel ve matematik yazılımı kullanarak yaptıkları inşalara benzer süreçlerle yeni inşalar yapmaları istenir. Bu süreçte öğrencilere özelliklerini bildikleri geometrik şekli inşa etmek için gerekli koşullar üzerinde çalışılmasının yeterli olduğu ifade edilir.

MAT.H.4.1
Ortaokulda bazı temel geometrik inşalar yapan öğrencilerin inşanın amacına ilişkin kendi fikirlerini paylaşmaları sağlanır (SDB2.1). Öğrencilerin düşünceleri özetlenerek geometrik inşaların problemlerin çözümüne sunduğu katkılardan bahsedilir. Daha sonra inşa yaparken kullanılan araç gereç öğrencilere hatırlatılarak bunların hangi amaçla kullanıldığına ilişkin sorular sorulur. Öğrencilerin cevapları değerlendirilerek araç gerecin farklı amaçla kullanımlarına ilişkin sorularla (“Pergel, çember çizmek ya da inşa etmek dışında hangi çizim ya da inşalarda kullanılır?”, “Eş doğru parçaları inşa etmek için hangi araç gereç kullanılır?” gibi) öğrencilerin fikirlerini paylaşmaları sağlanır. Pergelin bir tek açıklığıyla daire içine kare inşasını ve verilen bir kare içine eşkenar üçgen inşasını ilk defa Ebülvefa Buzcani'nin yapmasına ilişkin bilgilere yer verilir. Böylece kültürel mirasın tanıtımına katkı sağlanmış olur. Öğrencilerin cevapları özetlenerek matematik yazılımlarındaki araçların kullanımına ilişkin bilgiler verilir. Böylece öğrencilerin dijital ortamda inşa yaparken kullanacakları yazılımlarda bulunan araç gereci tanımaları sağlanır ve dijital ortamda iş görme becerileri desteklenir (OB2). Öğrencilere bu sınıf seviyesinde yapılması beklenen inşalara ilişkin problem durumları sunulur (MAB2). Çözümü istenen geometrik problem açıkça tanımlanır ve öğrencilerin çözüm için gerekli olacak temel bilgileri gözden geçirmeleri sağlanır. Örneğin öğrencilere “bir doğruya üzerindeki bir noktadan dik doğru çizme” inşasında ortaokulda öğrenmiş oldukları orta dikme oluşturma bilgisini nasıl kullanabilecekleri sorulur. Böylece sınıf içi tartışma ortamında öğrencilerin problemin çözümüne dair düşüncelerini paylaşmaları sağlanır, farklı düşünceler üzerinde uzlaşmalarıyla problemin çözümü için gerekli olan ilk adımlar belirlenir (SDB2.2). Orta dikme fikrinden hareketle doğru üzerindeki bir A noktasına eşit uzaklıkta ve yine bu doğru üzerinde olan iki noktayı belirlemek için kullanılması gereken aracın ne olduğu sorgulanır. Öğrencilerin ihtiyaç duyulan aracın pergel olduğunu ifade etmesi beklenir. Öğrenciler pergel ile noktaları belirledikten sonra inşanın sonraki adımı için “Bu noktalara A noktası dışında eşit uzaklıkta bir nokta ya da noktalar nasıl belirlenir?” şeklinde sorularla yönlendirilir. Öğrencilerden merkezi bu noktalar olan çemberlerin kesim noktalarının belirlenmesi gerektiğini ve bunun pergel yardımıyla yapılabileceğini söylemeleri beklenir. Sonraki adımda yapılacak çizim ve kullanılacak araç, tartışma ortamında belirlenir; elde edilen nokta veya noktalar ile A noktası ölçüsüz cetvel yardımıyla birleştirilerek inşa tamamlanır. Oluşturulan doğru ile başlangıçta verilen doğrunun birbirlerine dik oldukları, ölçümler yapılarak doğrulanır. Öğrencilerin yapılan inşada her bir adımın sonuçları ve bu doğruların dikliği üzerine tartışmalar yaparak ikizkenar, eşkenar ve eş üçgenlerin açı ve kenar özelliklerini incelemeleri sağlanır. Bu inşa, benzer aşamalar uygulanarak matematik yazılımları ile yapılır. Öğrencilerden bu seviyede benzer bir süreç işleterek aşağıdaki inşaları yapması beklenir.
• Bir doğruya dışındaki bir noktadan dik doğru inşa etme,
• Bir açıya eş bir açı inşa etme,
• Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel doğru inşa etme,
• İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı ölçüsü verilen üçgeni inşa etme,
• İki açı ölçüsü ve bir kenar uzunluğu verilen üçgen inşa etme,
• Eşkenar üçgen ve düzgün altıgen inşa etme.
Öğrencilerin yapması beklenen inşaların adımlarının belirlenmesi, kullanılacak araç ve teknolojinin seçimi ve kullanımı grup çalışması şeklinde de yapılır. Öğrencilere farklı geometrik kavram ve şekillerin matematiksel araç ve teknolojilerle inşa sürecine yönelik çalışma kâğıdı verilir. Grup çalışmaları ile farklı çözümler gerektiren inşalarda öğrencilerin iş birliği içinde çalışmaları sağlanır (SDB2.2). Çalışmaların dijital ortamda matematik yazılımları kullanılarak yapılmasıyla öğrencilerin dijital okuryazarlık becerilerinin gelişimine katkı sağlanır (OB2). Geometrik inşaların yapılması sürecinde öğrencilerin bağımsız olarak hareket etmeleri, araç ve teknolojileri bireysel olarak kullanmaları da desteklenir (E1.2). Her bir inşa için farklı yollar olup olmadığının ve farklı çözümlerin neler olabileceğinin sorgulanması sağlanır. Öğrencilerin bu süreçte farklı çözümler için probleme farklı açılardan bakmaları teşvik edilerek esneklik becerilerinin gelişimine destek olunur (SDB3.2). Öğrencilere inşaların farklı şekillerde nasıl yapılabileceğine ilişkin performans görevleri verilebilir. Bu performans görevinde öğrencilerin inşaların farklı şekillerde nasıl yapılabileceğine ilişkin yürütecekleri akıl yürütme ve çalışma süreci, kendi öğrenme durumlarını geliştirmeye yönelik çalışmalar da olduğundan öz düzenlenme becerileri ve sorumluluk eğilimlerinin gelişimi desteklenir (SDB1.2, D16.3, E2.2). Öğrencilere yapılan inşaların bazı adımlarının boş bırakıldığı, açık uçlu ve kısa cevaplı soruların bulunduğu çalışma kâğıdı verilebilir. Farklı inşa yöntemlerini araştırmalarına ve bu yöntemleri sunmalarına yönelik proje ödevi verilebilir.

MAT.H.4.2
Öğrencilerin öncelikle bazı özel dörtgenlerin (sırasıyla yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare) inşasını yapmaları beklenir. Bu dörtgenlerin inşası pergel, ölçüsüz cetvel veya matematik yazılımları ile yapılır. İnşanın matematik yazılımları kullanılarak yapılması durumunda öğrencilerin dijital araçlarla iş görme becerilerinin gelişimi de desteklenir (OB2). Ardından öğrencilerin bu dörtgenlerin açı, kenar ve köşegen özelliklerine yönelik varsayımlarda bulunmaları sağlanır. Öğrencilerin inşası yapılan özel dörtgenlerin farklı durumlarını inceleyerek varsayımlarına yönelik genellemelere ulaşmaları istenir. Öğrencilerden yaptıkları genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını belirleyerek genellemeleri önermeler (“Dikdörtgenin köşegen uzunlukları eşittir.”, “Paralelkenarın karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.” gibi) olarak ifade etmeleri istenir. İncelenen dörtgen ile diğer dörtgenlerin karşılaştırılması, ortak olan ve olmayan özelliklerin belirlenmesi için öğrencilere fırsat verilir. Öğrencilerin inceledikleri özel dörtgenlerin özelliklerine dair bilgi ve çıkarımları, tanılayıcı dallanmış ağaç kullanılarak değerlendirilebilir (SDB1.2).

MAT.H.4.3
Geometrik yapı örnekleri sunulur ve öğrencilerin bu örnekleri görsel yorumlama yöntemi ile incelemesi sağlanır. Öğrencilerin inceledikleri örneklerde yer alan şekil ve desenlerle ilgili fikirlerini paylaşması, farklı örneklerde gördükleri benzer özellikleri ifade etmesi beklenir. İncelenen örneklerin fraktal olarak adlandırılan geometrik yapılar olduğu ifade edilerek öğrencilerin fraktal tanımını incelemesi sağlanır. Öğrencilerin sınıf veya grup tartışması yoluyla örnek olarak sunulan fraktalları oluşturan şekilleri belirlemeleri istenir. Tartışma ortamında öğrenciler özellikle karışık fraktalları oluşturan şekilleri belirlerken düşüncelerini müzakere ederek farklı fikirler üzerinde uzlaşma sağlayacaklarından iş birliği becerileri desteklenir (SDB2.2). Öğrencilerin her bir örnek fraktal için belirledikleri şekiller özetlenir. Her bir fraktal örneği için belirlenen bu şekiller arasındaki ilişkilere ve bu ilişkileri nasıl kurduklarına dair açıklama yapması sağlanır. Öğrencilerin şekiller arasındaki ilişkiler üzerinden fraktalın nasıl oluşturulduğunu, desenlerdeki tekrar ve benzerlikleri ifade ederek fraktalın özelliklerini belirlemesi beklenir. Fraktalların çözümlenmesi, sunulan fraktal görsellerinin tanınması, yorumlanması ve sorgulanması ile öğrencilerin görsel okuryazarlık becerilerinin gelişimi desteklenir (OB4). Öğrencilere farklı fraktal örneklerini belirlemeye yönelik araştırma ödevi verilebilir. Araştırma ödevlerinin sınıf ortamında sunulması desteklenerek öğrencilerin öz güven ve girişkenlik eğilimlerinin, iletişim ve iş birliği becerilerinin gelişimi sağlanır (E1.5, E2.3, SDB2.1, SDB2.2). Öğrencilerin araştırmalarını dijital ortamda hazırlaması ve sunması ile dijital okuryazarlık becerilerinin gelişimi desteklenir (OB2). Öğrencilere fraktalları çözümleyebilmeye yönelik proje ödevi verilebilir.

MAT.H.4.4
Geometrik şekiller kullanılarak oluşturulan süsleme örnekleri öğrencilere sunularak merak duyguları harekete geçirilir (E1.1). Öğrencilerin bu örnekleri incelemeleri sağlanır. Geometrik şekiller ile yansıma veya öteleme dönüşümleri sonrası oluşan görüntüler; süslemenin bileşenleri olarak belirlenir. Ardından öğrencilerin bileşenler arası ilişkileri incelemelerine ve süslemenin nasıl oluşturulduğunu belirlemelerine fırsat verilir. Öğrencilerin süslemeyi oluşturan şekillerin nasıl bir araya getirildiği, tekrar eden şekil ve yapılar, bu şekiller arasındaki benzerlikler, renklerin kullanımı gibi durumlara ilişkin fikirlerini paylaşmaları ve tartışmaları sağlanır (SDB2.1). Böylece öğrencilerin süslemedeki düzeni görmeleri beklenir. Süslemelerin incelenerek yapısının anlaşılması ve çözümlenmesiyle öğrencilerin görsel okuryazarlık becerilerinin gelişimi de desteklenir (OB4). Öğrencilerin özellikle Türk-İslam kültürüne ait, geometrik şekillerle oluşturulmuş örnekleri incelemeleri; geometrik şekillerin görsel sanatlar ve mimarideki kullanımına ilişkin fikirlerini paylaşmaları sağlanır (SDB2.1). Türk-İslam kültürüne ait mimari eserlerde [cami (Divriği Ulu Cami gibi), medrese (Uluğ Bey Medresesi gibi), Türk hamamı, Selçuklu yıldızı, Anadolu kilim desenleri, geleneksel Türk halı ve kilimlerindeki motifler gibi] yer alan süslemeler incelenerek eserde yer alan şekiller arasındaki örüntüler belirlenir. Farklı kültürlerdeki sanat eserleri ve mimari eserlere dair yapılacak çalışmalarla öğrencilerin farklı toplumların kültürel değerlerine duyarlı olmaları ve saygı duymaları desteklenir (D14.3). Sanat okuryazarlığı becerileri, üretkenlikleri ve ruhsal gelişimleri desteklenir (OB5, OB9). Bu çalışma ve incelemelerle öğrencilerin sanatı ve estetiği hayatlarının parçası hâline getirmelerine katkı sunulur (D7.1). Farklı kültürlere ve millî kültüre ait geometrik şekillerin oluşturduğu süslemelerin araştırılması ve çözümlenmesine ilişkin araştırma ödevi verilerek öğrencilerin iş birliği becerilerinin geliştirilmesi sağlanabilir. Bu çalışmalarla öğrencilerin gruplar hâlinde performans görevi hazırlarken kendi öğrenme deneyimlerini geliştirmeleri desteklenir (SDB1.2).

MAT.H.4.5
Türk-İslam kültüründe ve farklı kültürlerde yer alan sanat ve mimari örneklerinde kullanılan geometrik şekillerle oluşturulan süsleme ve kaplama örneklerinin incelenmesine yönelik öğrenme ortamı oluşturulur. Öğrencilerin Cezeri ve M. C. Escher (Eşır) gibi süsleme sanatçılarının eserlerini ayrıca incelemesi sağlanır (OB5). Öğrencilere özdeş çokgenlerden (özdeş eşkenar üçgenler, özdeş düzgün altıgenler gibi) oluşan materyaller yeterli sayıda verilir. Düzlemin bunlardan hangileri nasıl bir araya getirilirse üst üste gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde kaplanabileceği sorulur. Öğrencilerden tek bir çokgeni kullanarak kaplama oluşturmalarının yanı sıra farklı çokgenleri bir arada kullanarak da kaplama oluşturmaları beklenir. Öğrencilerden yapılan kaplamalarda şekillerin nasıl yerleştirildiğine (öteleme ve simetri) ilişkin açıklama yapması beklenir. Bu süreçte öğrencilerin deneme yanılma yöntemini kullanarak hangi şekillerle kaplama yapabileceklerini gözlemlemeleri sağlanır. Ayrıca öğrencilerin gözlemlerinden hareketle kaplama yapabileceği şekiller arasındaki ilişkileri incelemeleri beklenir. Öğrencilerin kaplamada kullanılacak düzgün çokgenlerin kenar uzunluklarının eşit olması, çokgenlerin bir araya gelen iç açılarının ölçüleri toplamının bir tam açı oluşturması gerektiği gibi sonuçlara ulaşmaları sağlanır. Öğrencilerden belirledikleri şekilleri kullanarak ve ulaştıkları sonuçları değerlendirerek özgün bir kaplama oluşturmaları beklenir (E3.11). Bilgisayar programları ve tasarım araçlarının geometrik şekillerle süsleme ve kaplama oluşturmak için kullanımı teşvik edilir. Öğrencilere farklı geometrik şekiller içeren özgün bir desen ve kaplama oluşturmalarına yönelik performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden düzgün sekizgen ve düzgün onikigenin inşasının nasıl yapılabileceğini araştırmaları istenir. Öğrencilerin yaptıkları araştırmalar ışığında ve öğretmen rehberliğinde düzgün sekizgen ve onikigeninin inşaları, matematiksel araçlar kullanılarak yapılır. 

Öğrencilerin gruplar hâlinde veya bireysel olarak iki kenarının uzunluğu ve bir yüksekliği verilen üçgenin inşasını gerçekleştirmeleri sağlanır.

Öğrencilerden düzgün çokgenlerin ve üçgenlerin inşasına yönelik çalışmalar yapan Farabi gibi bilim insanlarını araştırarak ulaştıkları sonuçları sunmaları istenir.

(*) Öğrencilerin altın oran ile ilgili inşalar, Theodorus (Fiyodorus) çarkı ve altın spiral hakkında araştırmalar yaparak çalışmalarını özetleyen bir afiş hazırlamaları ve bu afişi sunmaları istenir. Araştırmalarını dijital ortamda yapmaları desteklenerek öğrencilerin dijital araçlarla iş görme becerilerinin geliştirilmesi sağlanır.

(*) Öğrencilerden hangi düzgün çokgenlerle düzlemin kaplanabileceğini araştırmaları istenir. Benzer şekilde kaplama türlerine ilişkin araştırmalar yaparak ulaştıkları sonuçları sunmaları, kaplamalarla özgün bir süsleme oluşturmaları ve ürünlerini sergilemeleri beklenir.

Öğrencilerin konuya ilişkin tasarlanmış materyaller veya matematik yazılımlarıyla çalışmaları sağlanır. Geometrik şekillerin inşasına yönelik çalışmalardan önce basit çizimler yapmalarına ve temel geometrik inşaların adımlarına yönelik çalışmalar yapılır. Çalışmaların küçük gruplar hâlinde gerçekleştirilmesi ve öğrencilerin birbirleriyle etkileşim içinde olması sağlanır. Öğrencilere fraktal ve süslemelere ilişkin günlük hayattan, doğadan örnekler ve ilgi çekici videolar sunulur. Kaplamalara ilişkin çözümleme ve kaplamaları kullanarak özgün süslemeler oluşturma sürecinde öğrencilere etkileşimli içeriklerle uygulama yapma imkânı verilir.

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D1. Adalet, D3. Çalışkanlık, D6. Dürüstlük, D14. Saygı

OB2. Dijital Okuryazarlık

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecinin bileşenlerine hâkim oldukları, betimsel ve karşılaştırma gerektiren araştırma soruları oluşturabildikleri; kategorik veya nicel veri toplayabildikleri; verileri görselleştirebildikleri (sıklık tablosu, sütun grafiği, daire grafiği, çizgi grafiği, nokta grafiği, kök-yaprak gösterimi); özetleyebildikleri (sıklık, ortalama, tepe değer, ortanca, açıklık, ortalama mutlak sapma); değişebilirlik, dağılım, evren ve örneklem kavramlarını bildikleri ve verileri yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine dair bilgileri, beyin fırtınası yöntemi kullanılarak değerlendirilir. Bu süreçte öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine yönelik tutumları ve motivasyonları gözlemlenir. Ayrıca öğrencilerden bildikleri kavramlara yönelik kavram haritaları oluşturmaları istenir. Bu kavram haritaları üzerine tartışılarak öğrencilerin ön bilgileri ortaya çıkarılır.

Öğrencilere önceki sınıflarda öğrenmiş oldukları istatistiksel araştırma sürecinin tüm bileşenlerine (istatistiksel problem belirleme, veri toplama ve analize hazırlama, bulgulara ulaşma, bulguları yorumlama) dair eleştirel sorular sorulur. Bu bileşenlerde olabilecek veya oluşabilecek hataların/yanlılıkların neler olabileceği üzerine tartışılır.

MAT.H.5.1
Öğrencilerin başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel bilgilere eleştirel bakabilmeleri (E3.10) ve bu bilgileri tartışabilmeleri önemlidir. Bu bağlamda öğrencilere nicel veya kategorik verilerden hareketle oluşturulan; hatalı/yanlı sonuç, yorum, çıkarım veya tahminleri içeren istatistiksel görsel veya özetlerden hazırlanmış çalışma kâğıdı verilerek bu çalışma kâğıtlarını grup çalışmasıyla ya da bireysel olarak incelemeleri istenir (SDB2.2, D3.4). Grup tartışması sürecinde öğrencilerin birbirlerinin fikirlerini nezaketle dinlemeleri ve arkadaşlarının düşünceleriyle empati yapabilmeleri sağlanır (D14.1). Ele alınan durumlar farklı disiplinlerden (fizik, coğrafya, biyoloji) seçilerek öğrencilerin günlük hayatta karşılarına çıkan durumları istatistiksel gözle değerlendirmeleri desteklenir. Örneğin öğrencilerden matematik ile coğrafya dersini ilişkilendirmek için ülkelerin farklı yaş gruplarına ilişkin verileri içeren grafiklerden hareketle gelecek yıllar için tahminî nüfus değerlerini içeren grafikleri incelemeleri beklenebilir. Öğrencilerin var olan istatistik bilgileri doğrultusunda ele aldıkları durumlar için istatistiksel temellendirme yapmaları sağlanır (SDB3.3). Bu süreçte öğrenciler, bireysel veya iş birliğini sağlayacak şekilde gruplar hâlinde çalışmaya teşvik edilir. Böylelikle öğrencilerin istatistiksel temellendirmelerini gruplar hâlinde gerçekleştirmeleri desteklenir (D3.4). Öğrencilerden verilen durumlara eleştirel bakmaları (E3.10), istatistik bilgilerini kullanarak hataları/yanlılıkları tespit etmeleri istenir. Hataları/ yanlılıkları tespit ederken öğrencilerin yakınlık, menfaat, ön yargı gözetmeksizin tarafsız davranmalarının önemine dikkat çekilir (D1.2). Öğrencilerin belirlediği hatalar ve yanlılıklar tartışmaya açılır (SDB2.1). Öğrencilerden bu hata ve yanlılıkları eleştirel gözle değerlendirmeleri beklenir (KB3.3). Sınıf içi tartışmalarla öğrencilerin değerlendirmelerini paylaşmaları ve gerekçelendirmeleri istenir (SDB2.2, SDB3.3). Bu süreçte düşüncelerini ifade etmelerinin yanı sıra diğer arkadaşlarının düşüncelerini nazik bir şekilde dinleyerek onlarla empati kurabilmelerine yönelik yönlendirmeler yapılır (D14.1). Öğrencilerin sunduğu fikirlerden ve yaptığı değerlendirmelerden hareketle ele alınan veri dağılımlarına ilişkin hatalı/ yanlı sonuç, yorum, çıkarım veya tahminler çürütülür veya kabul edilir (D6.1). Bu süreçte öğrencilerden fikir ve değerlendirmelerini dijital araçlar yardımıyla paylaşmaları ve etkileşimde bulunmaları beklenir (OB2). Öğrencilere istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım veya tahminlere ilişkin değerlendirme yapabilecekleri performans görevi verilebilir. Görev sonunda öğrencilerin elde ettiği sonuçların benzerlik veya farklılıklarının nedenleri üzerine sınıf içi tartışma yapılabilir. Öğrencilerin gruplarla yaptığı sınıf içi tartışma etkinlikleri öz, akran ve grup değerlendirme formları ile değerlendirilebilir (SDB1.1, SDB1.2).

Öğrencilerin toplumsal durumlara (halk sağlığı, doğal kaynakların tükenmesi gibi) ilişkin istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım veya tahminleri araştırmaları; bu araştırmalarda fark ettikleri noktaları eleştirel olarak değerlendirmeleri istenir. Örneğin öğrencilerden salgın bir hastalıkla ilgili yayımlanan bir habere ilişkin iki farklı yayılıma sahip (herhangi bir önlem almadan salgın hastalığa yakalanan insanların verileri, önlemlere dikkat ettiği hâlde salgın hastalığa yakalanan insanların verileri) dağılımları incelemeleri istenir. Ayrıca salgın hastalığa yakalanan bireylerin ülkelere göre nasıl bir dağılım gösterdiğini içeren grafikleri de öğrencilerin değerlendirmeleri hedeflenir. Verilen dağılımlar ile ülkelerin verilerini içeren grafikler arasında tutarlılık olup olmadığı; yanlı, yanlış veya eksik bilgilerin olup olmadığı incelenerek öğrenciler tarafından değerlendirilir. Öğrencilerin yaptıkları bu değerlendirmeleri sunum, poster, bilgi görseli gibi araçlarla veya dijital ortamlarda içerik oluşturarak diğer arkadaşları ile paylaşmaları; deneyimlerini ifade etmeleri sağlanır.

Öğrencilerden çevrelerinde daha aşina oldukları durumlara ilişkin istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım veya tahminleri araştırmaları; bu araştırmalarında fark ettikleri noktaları eleştirel olarak değerlendirmeleri istenir. Öğrencilerden yaptıkları bu değerlendirmeleri sunum, poster, bilgi görseli gibi araçlarla diğer arkadaşlarına sunmaları ve bu sunumlarını diğer arkadaşlarının değerlendirmeleri istenir.